自由模

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抽象代數中,一個 R 上的自由模是帶有基底的模。

定義[编辑]

一個自由 R-模 MR-模範疇中的自由對象。具體言之,即存在一族元素 \{m_i\}_{i \in I}(可能有無限多個)使得:

  • 任何 m \in M 都可表成它們的線性組合 m = \sum_{i \in I} r_i m_i,其中只有有限個 r_i 非零。
  • \sum_{i \in I} r_i m_i = \sum_{i \in I} r_i' m_i,則 \forall i,\; r_i=r_i'

等價說法是:M \simeq R^I。此時 \{m_i\}_{i \in I} 稱作 M 的一組基底

性質[编辑]

  • M可定義為 I 的基數,與基底選取無關。
  • 自由模皆是射影模,也是平坦模
  • 若接受選擇公理,則任何除環上的模都是自由模,例如上的向量空間。