本页使用了标题或全文手工转换

完備化 (環論)

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

交換代數中,可以探討一個交換環 本身,或一個 -模對一理想 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質,完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上,交換環的完備化對應到一個閉子概形形式鄰域

I-進拓撲[编辑]

對於一個交換環 及其理想 (通常取為極大理想),可以藉著取 為零元素的開鄰域,賦予 相應的拓撲結構,使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 -進拓撲

對於一個 -模 ,同樣可考慮零元素的開鄰域 ,由此得到 上的 -進拓撲。

完備化及其性質[编辑]

完備化定義為射影極限

正如其名, 對其 -進拓撲是完備的。對於固定的 是從 -模範疇(態射為模同態)到 -進拓撲 -模(態射為連續同態)的函子;透過自然同態 ,它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子,因而是右正合的。

對於諾特環平坦-模。此時,對任何有限生成 -模 ,自然態射 是個同構。綜上所述,對於諾特環 上的有限生成 -模,完備化是個正合函子

此外,完備化也可以用柯西序列構造,得到的對象是自然同構的。

例子[编辑]

  • p進整數 的完備化。
  • 形式冪級數環 是多項式環 的完備化。

文獻[编辑]

  • David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6