自由群

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由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖

數學中,一個 G 被稱作自由群,如果存在 G 的子集 S 使得 G 的任何元素都能唯一地表成由 S 中元素及其逆元組成之乘積(在此不論平庸的表法,例如 st^{-1}=su^{-1}ut^{-1} 之類);此時也稱 G 為集合 S 上的自由群,其群結構決定於集合 S,記為 F(S)S 稱作一組基底。按照範疇論的觀點,自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群英语free abelian group

歷史[编辑]

在1882年,Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念,但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子[编辑]

2個圓環的集束
  • 整數的加法群 (\mathbb{Z},+) 是自由群;事實上我們可取 S := \{1\}
  • 巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群,以下將予說明。
  • 代數拓撲學中,k 個圓環的集束(即:k 個只交於一點的圓環,見右圖)的基本群k 個生成元的自由群。

建構方式[编辑]

今將構造集合 S 上之自由群 F(S),分解動作如下。

  1. 對任何 s \in S,引入符號 s^{-1},稱作 s 的逆元。
  2. 考慮所有由符號 s, s^{-1} \; (s \in S) 構成的有限字串
  3. 如果一個字串能透過將 ss^{-1}s^{-1}s 替換為空字串而變為另一個字串,則稱這兩個字串等價;此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係,其商集(等價類構成的集合)記作 F(S)
  4. 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法,證明此等價關係相容於字串的接合,即:x \sim y, x' \sim y' \Rightarrow xx' \sim yy'。故字串接合在 F(S) 導出二元運算,並滿足交換律。
  5. F(S) 及字串接合運算構成一個群,字串 s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1} 之逆為 s_n^{\mp 1} \cdots s_1^{\mp 1}。此即所求。

S 為空集,則 F(S) 為平凡群。

泛性質[编辑]

上述構造 F(S) 帶有一個自然的集合映射 \phi: S \rightarrow F(S)。這對資料 (F(S), \phi) 滿足以下泛性質

G 為群,\psi: S \rightarrow G 為集合間的映射,則存在唯一的群同態 f: F(S) \rightarrow G 使得 f \circ \phi = \psi

事實上我們僅須,也必須設 f(s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1}) := \psi(s_1)^{\pm 1} \cdots \psi(p_n)^{\pm 1} ;前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 (F_1, \phi_1)(F_2,\phi_2) 至多差一個同構,因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例,用範疇論的語言來說,函子 F(-): S \mapsto F(S)遺忘函子的左伴隨函子

性質與定理[编辑]

  • 任何群 G 皆可表為某個自由群的同態像;在上述泛性質中取 SG 的一組生成集,ψ 為包含映射即可。此時 F(S) \rightarrow G 的核 R 稱作關係F(S),K 稱作 G 的一個展示;若 S 有限,則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示,而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法
  • 如果 S 有超過一個元素,則 F(S) 非交換;事實上 F(S)中心只有單位元素。
  • 任兩個自由群 F(S), F(T) 同構的充要條件是 S, T 基數相同,此基數稱作自由群的

以下是一些相關定理:

  • Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理:自由群的子群也是自由群。若 Gn 階,(G:H) = k,則 H1-n+nk 階(在此設 n,k 有限)。
  • F 為超過一階的自由群;則對任意可數基數 nF 中都存在 n 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象,卻可藉微分幾何拓撲學工具研究,上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例(可運用同倫上纖維的構造證明);這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群[编辑]

更多資料:自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」,遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 S 上的自由阿貝爾群可視為自由 \mathbb{Z}-來構造,或取作 F(S) 的「交換化」: F(S)/[F(S), F(S)](換言之,在考慮字串時不計符號順序)。

塔斯基的問題[编辑]

塔斯基在1945年左右提出下述問題:

兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論?此理論是否可判定

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案,但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。

文獻[编辑]

  • Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra. 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 數學評論2293770 
  • W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
  • Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16. 2006 (3): 707–730, 數學評論2238945 
  • J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))