自由群

由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖

在數學中，一個群 $G$ 被稱作自由群，如果存在 $G$ 的子集 $S$ 使得 $G$ 的任何元素都能唯一地表成由 $S$ 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 $st^{-1}=su^{-1}ut^{-1}$ 之類）；此時也稱 $G$ 為集合 $S$ 上的自由群，其群結構決定於集合 $S$，記為 $F(S)$，$S$ 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群。

歷史

在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子

2個圓環的集束

• 整數的加法群 $(\mathbb {Z} ,+)$ 是自由群；事實上我們可取 $S:=\{1\}$。
• 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。
• 在代數拓撲學中，$k$ 個圓環的集束（即：$k$ 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 $k$ 個生成元的自由群。

建構方式

今將構造集合 $S$ 上之自由群 $F(S)$，分解動作如下。

1. 對任何 $s\in S$，引入符號 $s^{-1}$，稱作 $s$ 的逆元。
2. 考慮所有由符號 $s,s^{-1}\;(s\in S)$ 構成的有限字串。
3. 如果一個字串能透過將 $ss^{-1}$ 或 $s^{-1}s$ 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 $F(S)$。
4. 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：$x\sim y,x'\sim y'\Rightarrow xx'\sim yy'$。故字串接合在 $F(S)$ 導出二元運算，並滿足交換律。
5. 取 $F(S)$ 及字串接合運算構成一個群，字串 $s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}$ 之逆為 $s_{n}^{\mp 1}\cdots s_{1}^{\mp 1}$。此即所求。

若 $S$ 為空集，則 $F(S)$ 為平凡群。

泛性質

上述構造 $F(S)$ 帶有一個自然的集合映射 $\phi :S\rightarrow F(S)$。這對資料 $(F(S),\phi )$ 滿足以下泛性質：

若 $G$ 為群，$\psi :S\rightarrow G$ 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 $f:F(S)\rightarrow G$ 使得 $f\circ \phi =\psi$。

事實上我們僅須，也必須設 $f(s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}):=\psi (s_{1})^{\pm 1}\cdots \psi (p_{n})^{\pm 1}$ ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 $(F_{1},\phi _{1})$、$(F_{2},\phi _{2})$ 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 $F(-):S\mapsto F(S)$ 是遺忘函子的左伴隨函子。

性質與定理

• 任何群 $G$ 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 $S$ 為 $G$ 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 $F(S)\rightarrow G$ 的核 $R$ 稱作關係，$F(S),K$ 稱作 $G$ 的一個展示；若 $S$ 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。
• 如果 $S$ 有超過一個元素，則 $F(S)$ 非交換；事實上 $F(S)$ 的中心只有單位元素。
• 任兩個自由群 $F(S),F(T)$ 同構的充要條件是 $S,T$ 基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

• Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 $G$ 為 $n$ 階，$(G:H)=k$，則 $H$ 為 $1-n+nk$ 階（在此設 $n,k$ 有限）。
• 設 $F$ 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 $n$，$F$ 中都存在 $n$ 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群

更多信息：自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 $S$ 上的自由阿貝爾群可視為自由 $\mathbb {Z}$-模來構造，或取作 $F(S)$ 的「交換化」： $F(S)/[F(S),F(S)]$（換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

塔斯基的問題

塔斯基在1945年左右提出下述問題：

兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。

文獻

• Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 數學評論2293770 
• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

• Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 數學評論2238945 
• J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))