基本群

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代數拓撲中,基本群(或稱龐加萊)是一個重要的同倫不變量。帶點拓撲空間的基本群是所有從該點出發的環路的同倫等價類,群運算由環路的銜接給出。

基本群能用以研究兩個空間是否同胚,也能分類一個連通空間覆疊空間(至多差一個同構)。

基本群的推廣之一是同倫群

直觀詮釋:二維環面的情形[编辑]

二維環面上由p點出發的環路

首先,讓我們考慮二維環面(或甜甜圈面)的例子作為熱身,固定其上一點p

從此點出發,則可以建構環路(即:從p出發的並回到p的閉曲線)。設想環路如橡皮筋可自由變形與拉長,只要起點與終點仍是p 且環路仍處在環面上即可。這種變形叫做同倫,若一環路可以從另一環路藉此變形而得到,則稱兩者同倫等價。我們只探討環路的同倫類。二維環面的基本群由環路的同倫類組成。

ab非同倫等價

在上圖中,ab並非同倫等價:無法連續地從一者變換到另一者而不將環路「扯斷」,它們代表基本群中的不同元素。藉著增加環繞圈數,可以獲得更多的同倫類。

ab兩條環路的銜接

顧名思義,基本群不只是一個集合,它帶還有結構:二元運算由環路的銜接給出,即先走完第一條環路,再走第二條環路,使得兩段環路上的速率相同。基本群中的單位元素e_P由靜止在p點的環路代表,逆元由環路的逆行代表之,即:若一元素由環路s: [0,1] \to \mathbb{T}^2代表,則其逆元由 s \circ \tau: [0,1] \to \mathbb{T}^2代表,其中\tau (t) = 1-t \quad (t \in [0,1])

形式定義[编辑]

X拓撲空間p為其中定點。一條連續道路是一個連續映射\gamma: [0,1] \to X,而一個以p為基點的環路是一條滿足\gamma(0)=\gamma(1)=p的連續道路。以下若不另外說明,則環路皆以p為基點。

對兩條環路\gamma_0, \gamma_1,如果存在一個連續函數(保持基點的同倫H: \; [0,1]^2\to X使得

  • \forall t \in [0,1], \, H(t,0) = \gamma_0(t)
  • \forall t \in [0,1], \, H(t,1) = \gamma_1(t)
  • \forall x \in [0,1], \, H(0,x) = H(1,x) = p

則稱兩者同倫等價。不難驗證此關係確為等價關係。因此我們可考慮環路對此關係的等價類,以[\gamma]表一環路\gamma隸屬的等價類,亦稱同倫類。

現在定兩條環路f, g的銜接為: (f*g)(t)=\left\{\begin{matrix} f(2t), & \quad t\in[0,1/2] \\ g(2t-1), & \quad t\in[1/2,1]\end{matrix}\right.

直觀地說,此環路是先走f再走g,每一段都將速度加倍,以在單位時間內走完全程。可證明[f*g]決定於[f],[g],因此可在環路的同倫類上定義二元運算「*」。不難看出此運算滿足結合律

令單位元e_P為環路e_P(t)=p(即靜止於p點的環路),並令環路f: [0,1] \to X之逆為f^{-1}(t) = f(1-t)(即f逆行)。可證明[f] \mapsto [f^{-1}]在同倫類上有明確定義,且同倫類在此運算下成為一個

此群稱為X在基點p基本群,表為\pi_1(X,p)

例子[编辑]

  • \mathbb R^n對任何基點的基本群皆為平凡群。換言之,每個環路都可以連續地變形到基點。這類空間稱為單連通空間。
  • n \geq 2時,\mathbb S^n為單連通。
  • 圓環\mathbb S^1之基本群為\Z。其元素一一對應於e_m: t \mapsto e^{2i \pi mt},其中m \in \Z表示環路繞行圓環的次數(計入方向);群運算由[e_m] \cdot [e_n] = [e_{m+n}]給出。一般而言,n維環面的基本群同構於\Z^n
  • 基本群也可能含撓元:例如射影平面\R P^2的基本群便同構於\Z/2\Z
  • 基本群不一定可交換:例如挖去兩點的平面\R^2  - \{a,b\}的基本群同構於兩個生成元的自由群,生成元分別對應於繞行ab的環路。

事實上,可以證明對任何群G皆存在一個拓撲空間,使其基本群同構於G(此空間可以用二維CW複形構造,當群為有限展示時則能以四維流形構造)。

基本性質[编辑]

對基點的獨立性[编辑]

以下設X道路連通空間。p,q \in X,則\pi_1(X,p)同構於\pi_1(X,q)。這是因為存在一條從pq的道路\gamma,依之定義映射

   [\alpha] \mapsto [\gamma] * [\alpha] * [\gamma]^{-1}

此映射給出從\pi_1(X,q)\pi_1(X,p)的同構,其逆則為

[\alpha] \mapsto [\gamma]^{-1} * [\alpha] * [\gamma]

由此可談論空間本身的基本群(頂多差一個同構),記為\pi_1(X)基本廣群理論也'可以簡練地解釋基本群對基點的獨立性。

對連續映射的函子性[编辑]

f為空間(X,p) \to (Y,q)同倫等價,則\pi_1(f)為同構。

推論.同胚的空間有相同的基本群。

積空間的基本群[编辑]

\pi_1(X \times Y, (p,q)) = \pi_1(X,p) \times \pi_1(Y,q)

與第一個同調群的關係[编辑]

道路連通空間的第一個同調群是基本群的交換化。這是Hurwitz定理的特例。

計算方法與應用[编辑]

范坎彭(van Kampen)定理[编辑]

基本群一般不易計算,因為須證明某些環路非同倫等價。當空間可分割為較單純的空間,而其基本群已知時,范坎彭定理(或塞弗特-范坎彭(Seifert-van Kampen)定理)可以將基本群表為一個歸納極限

錐定理與射影空間的基本群[编辑]

對一個拓撲空間X,定義其「錐」CX := (I \times X)/(0 \times X),其中I表閉區間[0,1]。當X = \mathbb{S}^1時,CX同胚於圓錐。

道路連通空間的錐是單連通的,我們也有自然包含映射X \simeq 1 \times X \subset CX

f: X \to Y為連續映射,定義映射錐為

C(f) := \dfrac{C(X) \sqcup Y}{[1,x] \sim f(x)}

例子:設f\mathbb{S}^1到自身的映射z \mapsto z^2,此時C(f) = \R P^2

錐定理斷言C(f)的基本群同構於\pi_1(Y)f_*(\pi_1(Y))的正規化的商

應用:實射影空間之基本群同構於\mathbb Z/2\mathbb Z

圖、曲面與多面體的基本群[编辑]

  • 的基本群總是自由群。這點可藉著將圖沿其最小生成樹縮為一束\mathbb{S}^1看出。
  • 多面體的基本群可以展示為生成元與關係,使得每個關係由多面體的一個面給出。
  • 可定向緊曲面的基本群帶一個有2g個生成元a_1, b_1, \ldots, a_g, b_g及一個關係a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}\ldots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1的展示。整數g決定於曲面的拓撲結構,稱為其虧格

基本群與覆疊空間[编辑]

基本群的子群的共軛類一一對應於空間的覆疊的同構類,在此對應下,正規子群對應於伽羅瓦覆疊。

覆疊空間理論中,業已證明了如果空間有單連通的覆疊空間(例如對局部單連通空間),則基本群同構於萬有覆疊空間的自同構群。

推廣[编辑]

基本廣群[编辑]

如果一個小範疇(即:對象與全體態射構成一集合)的所有態射皆可逆,則稱之為一個廣群。所有廣群與其間的函子構成一個範疇。群是只有一個對象的廣群。

G為一廣群,對其對象定義下述等價關係:

x \sim \, y \iff \mathrm{Hom}(x,y) \neq \emptyset

得到的商集記作\pi_0(G)(或曰連通分支),這是從廣群範疇到集合範疇的函子。

對每個拓撲空間,以下述方式函子地構造一廣群\pi X

X為拓撲空間,令\pi X的對象為X的點,從點xy的態射是從xy道路的同倫類。同倫等價關係相容於道路的頭尾相接,故定義了一個廣群\pi X,稱為X基本廣群

Van Kampen定理在廣群的框架下有簡練的表述。

G為廣群,而x為其對象(也稱作G的點)。\mathrm{Hom}(x,x)在態射合成下成為一個群,記之為\pi_1(G,x)。註:由於基點選取問題,\pi_1並不能定義一個從廣群範疇到群範疇的函子。

一個拓撲空間的基本群可以用基本廣群定義為\pi_1(X,x_0) := \pi_1(\pi X,x_0)

高階同倫群[编辑]

基本群實則是第一個同倫群,這是符號\pi_1(X,x_0)中「1」的由來。

代數幾何中的基本群[编辑]

基本群亦可抽象地定義為纖維函子的自同構群,此纖維函子對每個帶基點的覆疊映射r: (Y,q) \to (X,p)給出纖維r^{-1}(p)

此定義可以推廣到代數幾何,而之前給出的環路定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆疊映射代為平展態射,拓撲空間的基點代為概形上的一個幾何點x,而纖維函子F對一平展覆疊f: Y \to X給出幾何纖維\mathrm{Hom}_X(x, Y)。此推廣源出格羅滕迪克夏瓦雷

這套理論可以解釋函數域伽羅瓦理論黎曼曲面的覆疊理論之聯繫。

文獻[编辑]

  • Allen Hatcher, Algebraic Topology (2001), Cambridge University Press. ISBN 0521795400
  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), Chicago University Press. ISBN 0226511839

外部連結[编辑]