同调

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

数学上(特别是代数拓扑抽象代数),同调 (homology,在希腊语homos = 同)是一类将一个可换群或者序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者)联系起来的过程。背景知识请参看同调论

对于一个特定的拓扑空间,同调群通常比同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造[编辑]

其过程如下:给定对象,首先定义链复形,它包含了的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模的序列,群同态满足任何两个相连的同态的复合为0: 对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的包含在第n个映射的中,我们定义X的第n阶同调群因子群(因子模)

链复形称为正合的,如果(n + 1)阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此的同调群是所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

非正式的例子[编辑]

非正式地,拓扑空间X的同调是X拓扑不变量的集合,用其同调群来表示

其中第k个同调群描绘了X中的k维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔,因此描绘了X中的路径连通分支。[1]

圆,或称为1维球面

一维球面 是一个。它有单个连通分支和一个一维洞,但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出

其中为整数群,平凡群。群表示一个有限生成阿贝尔群,其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。[2]

2维球面即球的球壳,不包括球的内部。

二维球面拥有1个连通分支,0个一维洞,1个二维洞,无更高维的洞。其对应的同调群为[2]

一般地,对n维球面Sn,其同调群为

实心盘,即2维球

二维B2是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支,但与圆不同的是,它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了以外均为平凡群。

环面

环面被定义为两个圆笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支,两个独立的一维洞(在图中以红圈和蓝圈分别标出),以及一个二维洞(环面的内部)。其对应的同调群为[3]

两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元,表示为笛卡尔积群.

例子[编辑]

导致引入这个概念的例子是代数拓扑单纯复形单纯同调在这里就是中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射,它将单纯形

映射为如下的和

如果我们将模取在一个域上,则n阶同调的维数就是n维的洞的个数。

仿照这个例子,可以定义任何拓扑空间的奇异同调。我们定义的上同调的链复形中的空间为为自由可换群(或者自由模),其生成元为所有从n单纯形连续函数。同态从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子和某个模开始。的链复形定义如下:首先找到一个自由模和一个同态。然后找到一个自由模和一个满同态。以该方式继续,得到一个自由模和同态的序列。将函子应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调仅依赖于,并且按定义就是作用于n阶导出函子。

同调函子[编辑]

链复形构成一个范畴:从链复形到链复形的态射是一个同态的序列,满足对于所有n成立。n阶同调 可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子

若链复形以协变的方式依赖于对象(也就是任何态射诱导出一个从的链复形到的链复形的态射),则是从所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为)构成从所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质[编辑]

是链复形,满足出有限个外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉示性数

(可换群采用而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调的层次上也可以计算:

并且,特别是在代数拓扑中,这提供了两个计算产生链复形的对象的重要的不变量.

每个链复形的短正合序列

导致一个同调群的长正合序列

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出,除了映射之外。后者称为 连接同态,有蛇引理给出。

参看[编辑]

  • ^ Spanier 1966,第155页
  • ^ 2.0 2.1 Gowers 2010,第390–391页
  • ^ Hatcher 2002,第106页