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英语Circle),根據歐幾里得的《几何原本》定義,是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合[1]。此外,圆的第二定义是:「平面内一动点到两定点的距离的比,等于一个常数,则此动点的轨迹是圆。」[2]

历史[编辑]

古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。[3]到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。[4]当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。[5]

约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。[4]大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。 古代埃及人认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。[4]这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。

性质[编辑]

解析几何[编辑]

圆心[编辑]

圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点叫做圆的圆心(通常用O表示)。[6]

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圆周上任何两点相连的线段称为圆的英语chord)。如图2,AB分别为圆上任意两点,那么\overline{AB}就是圆的

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圆上任意两间的部分叫做弧(英语arc),通常用符号\frown表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[6]

直径、半径[编辑]

  • 直径:经过圆心的叫做直径(用d表示)。[2]
  • 半径(英语radius):在圆中,连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径,半径用字母r表示。
k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}

切线[编辑]

假如一条直线与圆相交僅有一个交点,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相交的叫做切点。如[2]如下图,直线\overline{QP}与圆只有一个交点P,那么\overline{QP}就是圆的切线。 过圆上一点的切线:设该点为P(x_o,y_o),圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r,则该点和圆的切线方程为:(x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2

  • 性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
  • 推论1:经过圆心且垂直于切线直线必经过切点。
  • 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

割线[编辑]

一条直线与一条弧线有两个公共点,这条直线是这条曲线的割线(英语Secant Theorem)。[2]如图,直线\overline{QO}与圆有两个公共点,那么直线\overline{QO}就是圆的割线。

θ 的正割是从 0Q的距离.

周长[编辑]

圆的一周的长度称为圆的周长(记作C)。圆的周长与半径的关系是:

C= \pi dC= 2 \pi r

其中\pi圆周率

面积[编辑]

圆的面积与半径的关系是:S = \pi r^2

对称性[编辑]

圆既是轴对称图形又是中心对称图形,圆的对称轴为经过圆心O的任意直线,圆的对称中心为圆心O[6]

圓心角、圆周角[编辑]

图2:弦、圆周角、圆心角

圆心角:顶点在圆心的叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为\theta =(\frac{L}{2\pi r})\times 360^\circ=\frac{L}{r} [註 1][2]如右图,M为圆的圆心,那么\angle AMB为圆心角。
圆周角:顶点在圆周上,两边和圆相交的角叫圆周角。如右图,\angle ACB的顶点C在圆周上,\angle ACB的两边\overline{AC}\overline{BC}分别交在圆周上,那么\angle ACB就是圆周角。

圆心角定理[编辑]

同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等,所对的相等,弦心距[註 2]相等,此定理也称“一推三定理”。[6]

圆周角定理[编辑]

圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的的一半。[6]
如上图,M为圆心,A,B,C分别为圆周上的,那麼:\angle AMB=2\; \angle ACB

证明:\because BM=CM,AM=CM
\because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM
\therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM
\because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM
\therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)
即:\angle AMB=2\; \angle ACB

圆周角定理的推论:

  1. 同弧或等所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周所对的弧是等弧。
  2. 半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
  3. 三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

垂径定理[编辑]

垂径定理示意图

垂径定理:垂直于的直径平分弦且平分弦所对的[1]如图,直径\overline{BE}\perp \overline{AC},那么\overline{BE}平分\overline{AC}且平分\overset{\frown} {AC}

  • 推论1:(1)平分[註 3]的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条
(2)垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分所对的一条的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条
  • 推论2:圆的两条平行所夹的弧相等。

兩圓位置關係[编辑]

Two circles.png

兩個不同大小的圓(半徑分別為rR,圓心距為d,其中r < R)之間的關係如下:[2]

  1. d = 0:兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2. 0 < d < R - r:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3. d = R - r:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4. d = R + r:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5. R - r < d < R + r:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6. d > R + r:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圆系方程[编辑]

在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。 [2]
在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,若圆心(a,b)为定点,r为参变数,则它表示同心圆的圆系方程.若r是常量,a(或b)为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上(平行于x轴或y轴)的圆系方程.

  • 过两圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交点的圆系方程为:
x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\curlywedge (x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0)(\curlywedge\ne -1)
  • 过直线Ax+By+C=0与圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1的交点为:
x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\curlywedge (Ax+By+C=0)
  • 过两圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交点的直线方程为:
x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0

其他定义[编辑]

  • 椭圆平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹,椭圆的形状可以用离心率来表示;圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点重合,离心率\varepsilon =0的情况。
  • 三維空間,球面被設定為是在R^3空間中與一個定點距離為r的所有的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。r=1是球的特例,稱為單位球。
  • 在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合

其它[编辑]

相關的立体图形[编辑]

切面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀[编辑]

  • 當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面积最大。[7]

圓的問題[编辑]

参考资料[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ L为扇形长,变形公式L=r\cdot \theta
  2. ^ 弦心距指的是圆心的距离
  3. ^ 不是直径

资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 欧几里得[原著]/燕晓东(译). 几何原本. 南京: 江苏人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593. "圆是一个在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点就是圆心。" 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107177057. 
  3. ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014. ISBN 9787107155598. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 圆的历史. 
  5. ^ 古代人是如何搬运重物的?
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  7. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  8. ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. 

参见[编辑]