# 极值点

## 定义

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.}$

${\displaystyle S=X}$S在语境中明确，则通常省略S，如${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.}$也就是说，${\displaystyle \operatorname {argmax} }$是点x集合，使${\displaystyle f(x)}$到达函数最大值（若存在）。${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$可以是空集单元集，或包含多个元素。

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

### Arg min

${\displaystyle \operatorname {argmin} }$（或${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$）表示极小值点，定义与之类似。例如

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}$

${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$（是广义实数）的情形时，若fS上等同于${\displaystyle -\infty }$，则${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$（即${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$），否则${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$定义如上，这时它也满足

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}$[2]

## 例子与性质

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} }$算子与${\displaystyle \max }$不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$ is the element in ${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

max可以是空集（这时极大值未定义），这与${\displaystyle \operatorname {argmax} }$相同；不同的是${\displaystyle \operatorname {max} }$可能不含多个元素。[note 2]例如，取${\displaystyle f(x)=4x^{2}-x^{4},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$因为函数在${\displaystyle \operatorname {argmax} }$的每个元素上都取相同的值。

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

（而非单元集${\displaystyle \{5\}}$），因为${\displaystyle x(10-x)}$的极大值25仅在${\displaystyle x=5}$时取到。[note 4]而若在多个点上都取得极大值，${\displaystyle \operatorname {argmax} }$就应被视为点集。例如

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$因此是无限集。

## 注释

1. ^ 我们将输入（x）称作点（point），将输出（y）称作值（value），如临界点与临界值。
2. ^ 由于${\displaystyle \leq }$反对称性，函数至多有一个极大值。
3. ^ 这是集合间的等式，更确切地说是Y的子集间的等式。
4. ^ 注意${\displaystyle x(10-x)=25-(x-5)^{2}\leq 25}$，当且仅当${\displaystyle x-5=0}$时取等。

## 参考文献

1. ^ "The Unnormalized Sinc Function 互联网档案馆存檔，存档日期2017-02-15.", University of Sydney
2. Rockafellar & Wets 2009，第1-37頁.