舉例來說,上述未歸一化和歸一化的sinc函數的
都是{0},因為兩者都在
時取得全局最大值1.
未歸一化sinc函數(紅)的arg min 約為{-4.49, 4.49},因為在
處有兩個全局最小值,約為-0.217。歸一化sinc函數(藍)的arg min約為{−1.43, 1.43},因為它們的全局最小值在
處,儘管最小值相同。[1]
數學中,極值點(arguments of the maxima/minima,分別縮寫為arg max/arg min或argmax/argmin)是使函數輸出值取得極值的輸入點。[note 1]函數的自變量在定義域上,因變量則在到達域上。
給定任意集合X、全序集Y與函數
,則某子集
上的
定義為
![{\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2c93f068ae5ca3d427447bd562381d9db4b139)
若
或S在語境中明確,則通常省略S,如
也就是說,
是點x的集合,使
到達函數最大值(若存在)。
可以是空集、單元集,或包含多個元素。
在凸分析與變分分析中,
(是廣義實數)的情形時的定義略有不同。這時,若f等同於S上的
,則
(即
),否則
定義如上,這時
也可以寫成
![{\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60032073aace2c49981eb76a47f8abad20fceadd)
這裏要強調的是,這個涉及
的等式只有當f在S上不等同於
時才成立。
(或
)表示極小值點,定義與之類似。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d9f98ff5333f1bed05023f09e67eb2c169e43e)
是使函數值
取得極小值的點x。它是
的補算子。
在
(是廣義實數)的情形時,若f在S上等同於
,則
(即
),否則
定義如上,這時它也滿足
![{\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867535362698e0a29786fd84ad788f99b8e6e680)
例如,若
,則f只有在
這一點上取最大值1。因此
![{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99397a494944b20515578803ab0c651b93887bc8)
算子與
不同,給定相同的函數時,後者返回函數極大值,而不是使函數取得極大值的點。也就是說
is the element in ![{\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba2c32bc9f59a6502e64d6dceb1959ba090e3bd)
max可以是空集(這時極大值未定義),這與
相同;不同的是
可能不含多個元素。[note 2]例如,取
則
但
因為函數在
的每個元素上都取相同的值。
等價地,若M是f的極大值,則
是極大值的水平集:
![{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3148ee41a562696001d2c4df9584ebe7e11d00ca)
可以將其重排,得到簡單的等式[note 3]
![{\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8393f53ec6164b2b9fbc84d955699733b604b79c)
若極大值點只有一個,那麼
應被視為一個點,而非點集。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4daf196a83a2b966a8f4c77a4f0c4dbbbc1201)
(而非單元集
),因為
的極大值25僅在
時取到。[note 4]而若在多個點上都取得極大值,
就應被視為點集。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cc9d87b3c9d58f0f7223a632e5521facff5b34)
因為maximum value of
的極大值1在
時取到。在整條實數線上
因此是無限集。
函數不必達到極大值,因此
有時是空集。例如
,因為
在實數線上無界。再舉個例子,
,雖然
有界(
),但由極值定理,閉區間上的連續實值函數必有極大值,因此有非空的
。
- ^ 我們將輸入(x)稱作點(point),將輸出(y)稱作值(value),如臨界點與臨界值。
- ^ 由於
的反對稱性,函數至多有一個極大值。
- ^ 這是集合間的等式,更確切地說是Y的子集間的等式。
- ^ 注意
,若且唯若
時取等。