# 球面

## 三维空间中的方程

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

a, b, c, d, e 为实数，a ≠ 0，并且

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \varphi \;\cos \theta \\y&=y_{0}+r\sin \varphi \;\sin \theta \qquad (0\leq \varphi \leq \pi ,\;0\leq \theta <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \varphi \,\end{aligned}}}[3]

${\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y+z\,\mathrm {d} z=0.}$

## 包围的体积

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle \Delta V\approx \pi y^{2}\cdot \Delta x.}$

${\displaystyle V=\lim _{||T||\to 0}\sum \pi y^{2}\cdot \Delta x.}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\mathrm {d} x.}$

${\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \varphi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \varphi \,\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \theta \mathrm {d} \rho ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

## 表面积

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

${\displaystyle \Delta V\approx A(r)\cdot \Delta r.}$

${\displaystyle V\approx \sum A(r)\cdot \Delta r.}$

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,\mathrm {d} r.}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,\mathrm {d} r.}$

${\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r).}$

${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$

${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}\mathrm {d} x_{i},\;\forall k.}$

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin {\varphi }\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }[-r^{2}\cos {\varphi }]_{0}^{\pi }\,\mathrm {d} \theta =4\pi r^{2}.}$

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}$

## 几何性质

### 球面束

${\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

• 若球面相交于一个实圆 C，则球面束由包含 C 的所有球面（包括基本平面）组成。球面束中所有普通球面的中心位于穿过 C 的中心并垂直于基本平面的直线（下面称作“中心线”）上。
• 若球面相交于一个虚圆，球面束的所有球面也会通过这个虚圆，但是其实这些普通球面不相交（没有真正的公共点）。中心线垂直于这个基本平面，这是一个真实的平面，但其中包含了一个假想的圆。
• 如果球面相交于一点 A，则所有在这个面内的球面 A 都是相切的，同时基本面是所有这些面的公切面。中心线在 A 处垂直于基本平面。

## 推广

### 维数

• S0：0-球体是实线的区间[−r, r]的一对端点
• S1：1-球面是半径为r
• S2：2-球面是普通的球面
• S33-球面是四维欧氏空间中的球面。

n > 2的球面有时称作超球面 。

${\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

## 拓扑学

• 0-球面是一对具有离散拓扑的点。
• 1-球面是一个圆（同胚意义下）。因此，例如（任何扭结的像）是1-球面。
• 2-球面就是普通的球面（同胚意义下）。因此，例如，任何类球面都是2-球面。

n球面记为Sn 。它是没有边界紧致拓扑流形的一个例子。球面不必是光滑的；如果它是光滑的，它就不需要与欧几里得球面微分同胚 。

## 球面的十一种性质

David Hilbert和Stephan Cohn-Vossen的著作《几何与想象》 [16]一书中，统一描述了球面的11种性质，并讨论了这些性质是否仅仅存在于确定球面之中。一些性质对于平面来说也是成立的，因为平面可以视作半径无限大的球面。这些性质为：

1. 球面上任意点与球心的距离都是相同的。同时，它和某两个固定点之间的距离之比是恒定的。
第一句一般是球面的定义，可以唯一确定球面。而第二句的结论与阿波罗尼斯圆类似，很容易被推导出，第二句的结论也适用于平面。
2. 球面的外轮廓和用平面截出的截面都是圆。
该性质是球面独有的性质。
3. 球面的径长和周长保持不变。
曲面的径长是指两个与该曲面相切的互相平行的平面的距离。除了球面之外，还有很多的闭合凸面的径长也是恒定不变的，例如迈斯纳结构 。而曲面的周长是在平面上的正交投影的边界长度。从这两者中任意性质出发都可以推出另一个性质。
4. 球面的所有点都是脐点 。
因为球面上的法线是由球心向外辐射的，所以在球面上任意一点的 法线与其外表面的夹角都成直角。过法线的平面与曲面的交线形成的曲线称为法曲线，法曲线的曲率为也被称为法曲率。对于大多数曲面上大部分的点，不同的法曲线的法曲率也不同；而这些法曲率的最大值和最小值被称为主曲率 。任何闭合的曲面上至少有四个脐点。脐点上所有的法曲率是相等的;包括其主曲率也是相等的。脐点可以被认为是曲面上最像球面的点。
球面上所有法曲线的曲率都是相等的，所以每个点都是脐点。曲面中，只有球面和平面具有此性质。
5. 球体是没有中心表面的。
对于一个给定的法曲线，存在一个曲率等于截面曲率的曲率圆与曲面相切，圆心位于其法线上。例如，对应其最大和最小截面曲率的两个圆心被称为焦点 ，所有这些圆心的集合形成的面叫做焦面 。
对于大多数曲面来说，焦面会形成两个曲面在脐点处相交。一下几种特殊的情况：
• 对于管道曲面，一层焦面形成曲线，另一层焦面形成为曲面
• 对于圆锥体 ，圆柱体， 环面和环形曲线两层焦面都形成曲面。
• 在球面上，每一个大圆的圆心都在球体的球心，而焦面形成一个点该性质是球面独有的。
6. 球面上的所有测地线都是闭合曲线。
测地线是球面表面上的曲线，也是两点之间的最短距离。它们是平面几何中直线概念的一种概括性表达。对于球面来说，测地线是一个大的圆。许多其他的曲面都有这种性质。
7. 在体积大小一定的情况下，球面的表面积最小；而在表面积的大小固定的情况下，球面则能包围最大的体积。
这个性质源自自等周不等式 。这些性质唯一地定义了球面，例如在肥皂泡中：肥皂泡包围的体积不变， 其表面张力使得其表面积最小。一个自由浮动的肥皂泡因此近似于一个球体(尽管由于重力这样的外力会轻微使得肥皂泡的形状变得扭曲)。
8. 在所有已经给定表面积的凸固体中，球面的总平均曲率是最小的。
平均曲率是两个主曲率的平均值，这是恒定的一个数值，因为球面上的所有点的主曲率都是相等的。
9. 球面的平均曲率是恒定的。
球面是唯一没有边界和奇异点而有恒定正平均曲率的嵌入面。其他如最小曲面这样的沉浸面的平均曲率也是恒定的。
10. 球面的高斯曲率是一个常数。
高斯曲率是两个主曲率的乘积。它是一种可以通过测量长度和角度来确定的固有性质，与曲面如何嵌入这个空间无关。因此，折弯曲面并不会改变高斯曲率，而其他高斯曲率不变的曲面则可以通过在球面上切割一个小狭缝并折弯来得到。所有其他的曲面都有边界，球面是唯一没有边界的曲面，因为它的高斯曲率是一个常数。伪球面是一个高斯曲率为负且不变的曲面的例子。
11. 球面是由一个由三参数所组成的刚性运动所构成的。
围绕任何轴旋转，在原点处的单位球会将球面阴影映射到其自身上。任何绕着过原点的直线的旋转都可以表示为在三坐标轴上旋转的组合

（详见欧拉角）。因此，存在一个三参数的旋转族，使得每次旋转将球面转换成自身；这个族被称为旋转组SO(3)。该平面是唯一具有三参数变换族的一个曲面（沿原点周围的xy轴旋转和平移）。圆柱体是唯一具有双参数系列刚性运动的表面，并且旋转表面和螺旋面是具有单参数系列的表面。

## 注释

1. Albert 2016，p. 54
2. Woods 1961，p. 266
3. ^ Kreyszig (1972, p. 342)
4. ^ Albert 2016，p. 60
5. ^ Steinhaus 1969，p. 223
6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. ^ Steinhaus 1969，p. 221
8. ^ r在这个计算中被认为是一个变量
9. ^ Pages 141, 149. E. J. Borowski; J. M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. 1989. ISBN 0-00-434347-6.
10. ^
11. ^ Albert 2016，p. 55
12. ^ Albert 2016，p. 57
13. Woods 1961，p. 267
14. ^ Albert 2016，p. 58
15. ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
16. ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan. Geometry and the Imagination 2nd. Chelsea. 1952. ISBN 0-8284-1087-9.

## 参考文献

• Albert, Abraham Adrian, Solid Analytic Geometry, Dover, 2016 [1949], ISBN 978-0-486-81026-3
• Dunham, William. The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. : 28, 226. ISBN 0-471-17661-3.
• Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics 3rd, New York: Wiley, 1972, ISBN 0-471-50728-8
• Steinhaus, H., Mathematical Snapshots Third American, Oxford University Press, 1969
• Woods, Frederick S., Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover, 1961 [1922]