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球座標系

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用球座標來表示一個點的位置

數學裏,球座標系Spherical coordinate system)是一種利用球座標表示一個點p在三維空間的位置的三維正交座標系

右圖顯示了球座標的幾何意義:原點與點P之間的徑向距離,原點到點P的連線與正z-軸之間的天頂角,以及原點到點P的連線,在xy-平面的投影線,與正x-軸之間的方位角

標記

在學術界內,關於球座標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定(ISO 31-11),徑向距離、天頂角、方位角,分別標記為。這種標記在世界各地有許多使用者。通常,物理界的學者也採用這種標記。而在數學界,天頂角與方位角的標記正好相反:被用來代表天頂角,被用來代表方位角。數學界的球座標標記是。這種標記的優點是較廣的相容性;在二維極座標系與三維圓柱座標系裏,都同樣地代表徑向距離,也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。

定義

球座標系的幾個座標曲面。紅色圓球面的。藍色圓錐面的。黃色半平面的(黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是)。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。三個座標曲面相交於點P(以黑色的圓球表示)。直角座標大約為

假設P點在三維空間的位置的三個座標是。那麼,0 ≤ r是從原點到P點的距離,0 ≤ θ ≤ π是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角,0 ≤ φ < 2π是從原點到P點的連線在xy-平面的投影線,與正x-軸的夾角。

這裏,代表天頂角,代表方位角。當 時,都一起失去意義。當時,失去意義。

如想要用球座標,找出點P在空間的地點,可按照以下步驟:

  1. 從原點往正z-軸移動單位,
  2. 右手定則,大拇指往y-軸指,x-軸與z-軸朝其他手指的指向旋轉角值,
  3. 用右手定則,大拇指往z-軸指,x-軸與y-軸朝其他手指的指向旋轉角值。

座標系變換

三維空間裏,有各種各樣的座標系。球座標系只是其中一種。球座標系與其他座標系的變換需要用到特別的方程式。

直角座標系

使用以下等式,可從直角座標變換為球座標:

計算 時:
1. 必須依照 所處的象限來計算正確的反正切值。
2. 當 時,判斷 的值:
,則
,則
,則 為未定值 ( 因為 未定式 )。

反過來,也可從球座標變換為直角座標:

地理座標系

地理座標系是球座標系的第二個版本。地理座標標记为,其中表示径向距离,表示方位角,表示高度角。它主要是用在地理學。通常在地理學裏,會被用來表示高度,或者完全不被使用。

緯度的定義域是,南緯或北緯。使用以下方程式,可從緯度變換為天頂角:

  1. :北緯,
  2. :南緯,

經度的定義域是。設定經過倫敦格林維治天文台子午線為經度,往東或往西度。使用以下方程式,可從經度變換為方位角

  1. :往東,
  2. :往西,

圓柱座標系

用圓柱座標來表示一個點的位置

圓柱座標系是極座標系在三維空間往z-軸的延伸。座標用來表示高度。使用以下方程式,可以從球座標變換為圓柱座標

反過來,可以從圓柱座標變換為球座標:

標度因子

球座標系的標度因子分別為:

無窮小體積元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像,都可以用座標表示,只要將標度因子代入在正交座標系條目內對應的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式

假定是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角

  • 线元素是一个从的无穷小位移,表示为公式:

其中的是在的各自的增加的方向上的单位矢量

  • 面积元素1:在球面上,固定半径,天顶角从,方位角从变化,公式为:
  • 面积元素2:固定天顶角,其他两个变量变化,則公式为:
  • 面积元素3:固定方位角,其他两个变量变化,則公式为:
  • 体积元素,徑向座標从,天顶角从,并且方位角从的公式为:

應用

地理座標系用兩個角值,緯度與經度,來表示地球表面的地點。正如二維直角座標系專精在平面上,二維球座標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏,我們認定這圓球是個單位圓球;其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上,這方法是非常有用的。

球座標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言,一個圓球,其直角座標方程式為,可以簡易的用球座標系來表示。

當求解三重積分時,如果定義域為圓球,則面積元素是

體積元素是

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題,最自然的座標系,莫非是球座標系。例如,一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式拉普拉斯方程亥姆霍茲方程,在球座標裏,都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答,皆呈球諧函數的形式。

球座標的概念,延伸至高維空間,則稱為超球座標 (n-sphere)。

參閱