球谐函数

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球谐函数拉普拉斯方程球坐标系形式解的角度部分。在量子力学等领域广泛应用。

函数的推导[编辑]

本征方程的推导[编辑]

球坐标下的拉普拉斯方程是:

實值的球諧函數 Ylm,l = 0 到 4 (由上至下),m=0 到 4(由左至右)。負數階球諧函數 Yl,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

利用分离变量法,设定 。其中代表角度部分的解,也就是球谐函数

代入拉普拉斯方程,得到:

分离变量后得:

,整理得

本征方程的求解[编辑]

这里,是一个以为周期的函数,即满足周期性边界条件,因此必须为整数。而且可以解出:

而对于的方程,进行变量替换 ,得到关于的伴随勒让德方程。方程的解应满足在区间上取有限值,此时必须有,其中为自然数,且。对应方程的解为。即可以解出:

故球谐函数可以表达为:

其中N 是归一化因子。

經過歸一化後,球谐函数表達為:

这里的 称为 的球谐函数。以上推导过程中,虛數單位伴随勒让德多项式

其中 用方程式定義為:

勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

前几阶球谐函数[编辑]

極坐標中的表達式 直角坐標中的表達式 量子力學中的記号
0 0
1 0
1 +1
1 -1
2 0
2 +1
2 -1
2 +2
2 -2
3 0
3 +1
3 -1
3 +2
3 -2
3 +3
3 -3

参见[编辑]