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球諧函數

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球諧函數拉普拉斯方程式球坐標系形式解的角度部分。在古典場論量子力學等領域廣泛應用。

函數的推導

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本微分方程式的推導

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球坐標下的拉普拉斯方程式:

實值的球諧函數 Ylm,l = 0 到 4 (由上至下),m=0 到 4(由左至右)。負數階球諧函數 Yl,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

利用分離變量法,設定 。其中代表角度部分的解,也就是球諧函數

代入拉普拉斯方程式,得到:

分離變量後得:

,整理得

本徵方程式的求解

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這裡,是一個以為週期的函數,即滿足週期性邊界條件,因此必須為整數。而且可以解出:

而對於的方程式,進行變量替換 ,得到關於的伴隨勒讓德方程式。方程式的解應滿足在區間上取有限值,此時必須有,其中為自然數,且。對應方程式的解為。即可以解出:

故球諧函數可以表達為:

其中N 是歸一化因子。

經過歸一化後,球諧函數表達為:

這裡的 稱為 的球諧函數。以上推導過程中,虛數單位伴隨勒讓德多項式

其中 用方程式定義為:

勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

前幾階球諧函數

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極坐標中的表達式 直角坐標中的表達式 量子力學中的記號
0 0
1 0
1 +1
1 -1
2 0
2 +1
2 -1
2 +2
2 -2
3 0
3 +1
3 -1
3 +2
3 -2
3 +3
3 -3

參見

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