二面角

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在第三个平面(粉红色)中的两个平面(α,β,绿色)之间的角度以直角切割相交线

二面角英语:dihedral angle)是两个相交平面之间的夹角。在立体几何中,它被定义为一条直线和两个半平面的并集,这条直线是两个半平面的公共。在高维中,二面角表示两个超平面之间的夹角。[1]

化学中,二面角是分子中的两个分别由三个原子组成的平面之间的夹角,一共涉及四个原子,公共边是一个化学键(两个原子),平面则由另两个原子分别与该化学键构成。

数学背景[编辑]

若两个相交平面在笛卡尔坐标中的方程分别为

则它们之间的二面角 为:

另一种方法是计算两个平面的法向量nAnB之间的夹角:

其中nAnB是两个向量的点积,|nA| |nB|是两个向量的的乘积。[2]

任何平面也可以由位于该平面的两个非共线向量来描述;他们的叉积是平面的法向量。因此,二面角可以由三个向量b1b2b3定义,形成两对非共线向量:[3]

其中atan2是二個參數的反正切函數變體,一般而言,atan2(y, x) 等價於 atan(y/x)。

立体化学[编辑]

Synantipericlinal.svg Newman projection butane -sc.svg Sawhorse projection butane -sc.png
构象名称 syn-正丁烷
纽曼投影
syn-正丁烷
锯木架投影
正丁烷的自由能图作为二面角的函数

化学中,扭转角英语: torsion angle)被定义为二面角的特定例子,描述了通过化学键连接的分子的两个部分的几何关系。[4][5]

立体化学中,分子中的每三个(非共线)原子都决定了一个平面。当两个这样的平面相交时,它们之间的角度便是二面角。二面角用于描述具体的分子构象[6]。角度在0°和±90°之间的立体化学构象被称为syn(s,顺);在±90°和180°之间的为anti(a,反)。类似地,角度在30°和150°之间或-30°和-150°之间的被称为clinal(c,错),而在0°和±30°或±150°和180°之间的被称为periplanar(p,叠)。

这两种术语可以组合起来,以定义四个角度范围:0°至±30°为顺叠(sp);30°至90°和-30°至-90°为顺错(sc);90°至150°和-90°至-150°为反错(ac);±150°至180°为反叠(ap)。顺叠构象也被称为顺式(syn-或cis-)构象;反叠构象也被称为反式(anti-或trans-)构象;顺错构象也被称为邻位交叉、間扭(gaucheskew)构象。

例如,对于正丁烷,可以用两个中心碳原子和任一个甲基碳原子来分别指定两个平面。本节开头(上图)所示的syn-构象具有60°的二面角,比180°二面角的anti-构象更不稳定。

对于大分子使用,建议使用符号T,C,G+,G-,A+和A-分别表示ap,sp,+sc,-sc,+ac和-ac。[4]

蛋白质[编辑]

描述蛋白质,显示骨架二面角

拉氏图(也称为Ramachandran图或[φ,ψ]图),由G·N·Ramachandran、C·Ramakrishnan和V·Sasisekharan在1963年最初开发[7],是一种形象化蛋白质结构中能量(位阻)允许的氨基酸残基的二面角ψφ的关系的方式。右图展示了骨架二面角φψ的定义[8](Ramachandran称为φφ')。

蛋白质链中,三个二面角被定义为φ(phi),ψ(psi)和ω(omega),如图所示。肽键的平面性通常使得ω被限制为180°(典型trans情况)或0°(罕见cis情况)。transcis异构体的α-碳之间的距离分别为大约3.8和2.9 Å。cis异构体主要在Xaa-Pro肽键(其中Xaa是任何氨基酸)中观察到。

侧链二面角倾向于聚集在180°,60°和-60°附近,称为transgauche+gauche-构象。某些侧链二面角的稳定性受到φψ值的影响[9]。例如,当ψ接近-60°时,gauche+旋转异构体的侧链中的γ-碳和下一个残基的氮之间就会有直接的位阻相互作用[10]

从二面角转换为链中的笛卡尔坐标[编辑]

在聚合物特别是蛋白质中,常常用内部坐标来描述主链,也即把二面角和键长按照顺序列表。但是,某些类型的计算化学反而使用笛卡尔坐标。在计算结构优化中,一些程序需要在迭代过程中在这些表示法之间来回转换,这项工作可能占用大部分计算时间。对于有很多迭代或长链的过程,它也可能引入累积的数值不准确性。虽然所有的转换算法会产生数学上相同的结果,但它们的运算速度和数字精度不同。[11][需要非第一級來源]

几何[编辑]

每个多面体在每条边上都有一个二面角,用于描述以该边为公共边的两个面的关系。该二面角也被称为面角,其计算的是多面体的内角。面角0°意味着两个面法向量是反向平行的,而且两个面相互重叠,这意味着它是退化多面体的一部分。面角为180°意味着这些面是平行的,如在镶嵌中。在多面体的凹部,可以存在大于180°的面角。

边传递多面体中的每个二面角大小相同。这包括5个正多面体,4个星型正多面体,两个拟正多面体和两个拟正对偶多面体。

给定一个在共同顶点P上相交且具有边AP、BP和CP的多面体的三个面,包含APC和BPC的面之间的二面角的余弦为:[12]

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ Olshevsky, George, Dihedral angle at Glossary for Hyperspace.
  2. ^ Angle Between Two Planes. TutorVista.com. [2018-07-06]. 
  3. ^ Blondel, Arnaud; Karplus, Martin. New formulation for derivatives of torsion angles and improper torsion angles in molecular mechanics: Elimination of singularities. Journal of Computational Chemistry. 7 Dec 1998, 17 (9): 1132–1141. doi:10.1002/(SICI)1096-987X(19960715)17:9<1132::AID-JCC5>3.0.CO;2-T. 
  4. ^ 4.0 4.1 (英文)國際純粹與應用化學聯合會."Torsion angle".《化学术语总目录》在线版.
  5. ^ (英文)國際純粹與應用化學聯合會."Dihedral angle".《化学术语总目录》在线版.
  6. ^ Anslyn, Eric; Dennis Dougherty. Modern Physical Organic Chemistry. University Science. 2006: 95. ISBN 978-1891389313. 
  7. ^ Ramachandran, G. N.; Ramakrishnan, C.; Sasisekharan, V. Stereochemistry of polypeptide chain configurations. Journal of Molecular Biology. 1963, 7: 95–9. PMID 13990617. doi:10.1016/S0022-2836(63)80023-6. 
  8. ^ Richardson, J. S. Anatomy and Taxonomy of Protein Structures. Advances in Protein Chemistry. Advances in Protein Chemistry. 1981, 34: 167–339. ISBN 9780120342341. PMID 7020376. doi:10.1016/S0065-3233(08)60520-3. 
  9. ^ Dunbrack, RL Jr.; Karplus, M. Backbone-dependent rotamer library for proteins. Application to side-chain prediction.. Journal of Molecular Biology. 20 March 1993, 230 (2): 543–74. PMID 8464064. doi:10.1006/jmbi.1993.1170. 
  10. ^ Dunbrack, RL Jr; Karplus, M. Conformational analysis of the backbone-dependent rotamer preferences of protein sidechains.. Nature Structural Biology. May 1994, 1 (5): 334–40. PMID 7664040. doi:10.1038/nsb0594-334. 
  11. ^ Parsons, J.; Holmes, J. B.; Rojas, J. M.; Tsai, J.; Strauss, C. E., Practical conversion from torsion space to cartesian space for in silico protein synthesis, Journal of Computational Chemistry, 2005, 26: 1063–1068, PMID 15898109, doi:10.1002/jcc.20237 
  12. ^ dihedral angle calculator polyhedron. www.had2know.com. [2015-10-25]. [失效連結]

外部链接[编辑]