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向量积

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

叉積英语:Cross product)是一种在向量空间向量二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。两个向量的叉积写作 \mathbf{a} \times \mathbf{b},也称作外积英语:Outer product)或向量积英语:Vector product)。叉积与原来的两个向量都垂直

定义[编辑]

在右手坐标系中的向量积

两个向量 \mathbf{a}\mathbf{b} 的叉积写作 \mathbf{a} \times \mathbf{b}(有时也被写成\mathbf{a} \wedge \mathbf{b},避免和字母 x 混淆)。叉积可以定义为:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left| \mathbf{a}  \right| \left| \mathbf{b}  \right| \sin \theta \; \hat{\mathbf{n}}

在这里 \theta 表示 \mathbf{a}\mathbf{b} 之间的角度0^\circ \le \theta \le 180^\circ),它位于这两个向量所定义的平面上。而 \hat{\mathbf{n}} 是一个与 \mathbf{a}\mathbf{b} 所构成的平面垂直单位向量

这个定义有个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于 \mathbf{a}\mathbf{b}:若 \hat{\mathbf{n}} 满足垂直的条件,那么- \hat{\mathbf{n}}也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定,即按照给定直角坐标系的左右手定则。若(\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k})满足右手定则,则(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{a} \times \mathbf{b})也满足右手定则;或者两者同时满足左手定则

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系满足右手定则,当右手的四指从 \mathbf{a} 以不超过180°的转角转向 \mathbf{b} 时,竖起的大拇指指向是 \mathbf{a}\times \mathbf{b} 的方向。由于向量的叉积由坐标系确定,所以其结果被称为「伪向量」。


性质[编辑]

代数性质[编辑]

對於任意三個向量 \mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}

一般來說,向量叉積不遵守約簡律,即 \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} 不表示 \mathbf{b} = \mathbf{c}。此外,\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} 不表示 \mathbf{a} = \mathbf{0}\mathbf{b} = \mathbf{0}

但對於两个非零向量 \mathbf{a}\mathbf{b}

  • \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} 當且僅當 \mathbf{a} 平行於 \mathbf{b}

三重積[编辑]

純量三重積满足以下特殊的结合律

  • 
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}

向量三重積不满足结合律,但满足以下恆等式:

向量三重積亦可以點積展開:

  • \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})(拉格朗日公式)


向量微分[编辑]

對於實數 t 和兩個向量值函數 \mathbf{a}(t)\mathbf{b}(t)乘積法則成立:

  • \frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}


三維坐標[编辑]

给定直角坐标系的单位向量\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}满足下列等式:

\mathbf{i}\times\mathbf{j} =\mathbf{k}\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}
\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}

\begin{align}
\mathbf{a} \times \mathbf{b}  & = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i}+(a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j}+(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}\\ 
 &=  \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
\end{align}

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 \mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k} 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转

几何意义[编辑]

以向量定義的平行四边形

由向量 \mathbf{a}\mathbf{b} 定義兩條鄰邊的平行四边形,其面積 A

A = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin \theta

因此兩支向量叉積的模長可視作平行四边形其面積:

  • A = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|


高维情形[编辑]

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

\mathbf{x} \times (a\mathbf{y} + b\mathbf{z}) = a\mathbf{x} \times \mathbf{y} + b\mathbf{x} \times \mathbf{z}
(a\mathbf{y} + b\mathbf{z}) \times \mathbf{x} = a\mathbf{y} \times \mathbf{x} + b\mathbf{z} \times \mathbf{x}
\mathbf{x} \times \mathbf{y} + \mathbf{y} \times \mathbf{x} = \mathbf{0}
  • \mathbf{x} \times \mathbf{y} 同时与 \mathbf{x}\mathbf{y} 垂直:
\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{0}
| \mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2
\mathbf{x}\times (\mathbf{y}\times \mathbf{z}) \; + \mathbf{y}\times (\mathbf{z}\times \mathbf{x}) \; + \mathbf{z}\times (\mathbf{x}\times \mathbf{y}) \ne \mathbf{0}

应用[编辑]

另外,在物理学力学电磁学光学计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩角动量洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。


参见[编辑]