# 向量积

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

## 定义

$\vec{a} \times \vec{b} = \left |a \right | \left |b \right | \sin \theta \ \vec{n}$

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系($\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$)的左右手定则。若 ($\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$)满足右手定则，则 ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}$×$\vec{b}$)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则

## 性质

### 代数性质

$\vec{a}\times\vec{b}=\mathbf{-b}\times\vec{a}$
$\vec{a}$ × ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\vec{a}$ × $\vec{b}$ + $\vec{a}$ × $\vec{c}$
• 与标量乘法兼容：
(r$\vec{a}$) × $\vec{b}$ = $\vec{a}$ × (r$\vec{b}$) = r($\vec{a}$ × $\vec{b}$)
$\vec{a}$ × ($\vec{b}$ × $\vec{c}$) + $\vec{b}$ × ($\vec{c}$ × $\vec{a}$) + $\vec{c}$ × ($\vec{a}$ × $\vec{b}$) = 0

• 两个非零向量$\vec{a}$$\vec{b}$平行，当且仅当$\vec{a}$ × $\vec{b}$ = 0

### 拉格朗日公式

• 这是一个著名的公式，而且非常有用：
$\vec{a}$ × ($\vec{b}$ × $\vec{c}$) = $\vec{b}$$\vec{a}$·$\vec{c}$）- $\vec{c}$$\vec{a}$·$\vec{b}$）,

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \vec{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \vec{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \vec{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \vec{f} ) - \mbox{laplacian } \vec{f}. \end{matrix}$

• 另一个有用的拉格朗日恒等式是：
$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$

### 矩阵形式

$\vec{i}\times\vec{j} =\vec{k}$$\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$$\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

$\vec{a}$ = a1$\vec{i}$ + a2$\vec{j}$ + a3$\vec{k}$ = [a1, a2, a3]
$\vec{b}$ = b1$\vec{i}$ + b2$\vec{j}$ + b3$\vec{k}$ = [b1, b2, b3]

$\vec{a}$ × $\vec{b}$ = [a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1]

$\vec{a}\times\vec{b}=\det \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}$

## 高维情形

$\vec{x}$ × (a$\vec{y}$ + b$\vec{z}$) = a$\vec{x}$ × $\vec{y}$ + b$\vec{x}$ × $\vec{z}$
(a$\vec{y}$ + b$\vec{z}$) × $\vec{x}$ = a$\vec{y}$ × $\vec{x}$ + b$\vec{z}$ × $\vec{x}$.
• 反交换律：
$\vec{x}$ × $\vec{y}$ + $\vec{y}$ × $\vec{x}$ = 0
• 同时与$\vec{x}$$\vec{y}$垂直：
$\vec{x}$· ($\vec{x}$ × $\vec{y}$) = $\vec{y}$· ($\vec{x}$ × $\vec{y}$) = 0
• 拉格朗日恒等式
|$\vec{x}$ × $\vec{y}$|2 = |$\vec{x}$|2 |$\vec{y}$|2 - ($\vec{x}$·$\vec{y}$)2.
• 不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：
$\vec{x}$ × ($\vec{y}$ × $\vec{z}$) + $\vec{y}$ × ($\vec{z}$ × $\vec{x}$) + $\vec{z}$ × ($\vec{x}$ × $\vec{y}$) ≠ 0