本页使用了标题或全文手工转换

向量积

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
线性代数
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

叉積英语:Cross product)是一种在向量空间向量二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。两个向量的叉积写作 ,也称作外积英语:Outer product)或向量积英语:Vector product)。叉积与原来的两个向量都垂直

定义[编辑]

在右手坐标系中的向量积

两个向量 的叉积写作 (有时也被写成,避免和字母 x 混淆)。叉积可以定义为:

在这里 表示 之间的角度),它位于这两个向量所定义的平面上。而 是一个与 所构成的平面垂直单位向量

这个定义有个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于 :若 满足垂直的条件,那么也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定,即按照给定直角坐标系的左右手定则。若()满足右手定则,则()也满足右手定则;或者两者同时满足左手定则

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系满足右手定则,当右手的四指从 以不超过180°的转角转向 时,竖起的大拇指指向是 的方向。由于向量的叉积由坐标系确定,所以其结果被称为「伪向量」。


性质[编辑]

代数性质[编辑]

對於任意三個向量

  • 反交换律
  • (加法的左分配律
  • (加法的右分配律
  • 拉格朗日恆等式

一般來說,向量叉積不遵守約簡律,即 不表示 。此外, 不表示

但對於两个非零向量

  • 當且僅當 平行於

三重積[编辑]

純量三重積满足以下特殊的结合律

向量三重積不满足结合律,但满足以下恆等式:

  • 雅可比恆等式

向量三重積亦可以點積展開:

  • (拉格朗日公式)


向量微分[编辑]

對於實數 和兩個向量值函數 乘積法則成立:


三維坐標[编辑]

给定直角坐标系的单位向量满足下列等式:

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转

几何意义[编辑]

以向量定義的平行四边形

由向量 定義兩條鄰邊的平行四边形,其面積

因此兩支向量叉積的模長可視作平行四边形其面積:


高维情形[编辑]

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

  • 同时与 垂直:

应用[编辑]

另外,在物理学力学电磁学光学计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩角动量洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。


参见[编辑]