线性子空间

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线性子空间(或向量子空间)在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。

定义和有用的特征[编辑]

K(比如实数域),并设 V 是在 K 上的向量空间。如同平常,我们称 V 的元素为向量并称 K 的元素为标量。假设 WV子集。如果 W 自身是带有同 V 一样的向量空间运算的向量空间,则它是 V子空间

要使用这个定义,我们必须证明所有向量空间的性质对 W 都成立。作为替代,我们可以证明一个定理,它提供给我们证实一个向量空间的子集是子空间的更容易的方式。

定理:V 是在域 K 上的向量空间,并设 WV 的子集。则 W 是个子空间当且仅当它满足下列三个条件:

  1. 零向量 0 在 W 中。
  2. 如果 uvW 的元素,则向量和 u + vW 的元素。
  3. 如果 uW 的元素而 c 是来自 K 的标量,则标量积 cuW 的元素。

向量子空间是向量空间向量加法下的子群。.....

例子[编辑]

例子 I: 设域 K实数的集合 R,并设向量空间 V欧几里得空间 R3。 取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有向量的集合。则 WV 的子空间。

证明:

  1. 给定 Wuv,它们可以表达为 u = (u1,u2,0) 和 v = (v1,v2,0)。则 u + v = (u1+v1,u2+v2,0+0) = (u1+v1,u2+v2,0)。因此 u + v 也是 W 的元素。
  2. 给定 WuR 中标量 c,如果 u = (u1,u2,0),则 cu = (cu1, cu2, c0) = (cu1,cu2,0)。因此 cu 也 是 W 的元素。

例子 II: 设域是 R,设向量空间是欧几里得几何 R2。取 WR2 的使得 x = y 的所有点 (x,y) 的集合。则 WR2 的子空间。

证明:

  1. p = (p1,p2) 且 q = (q1,q2) 是 W 的元素,就是说,在平面上的点使得 p1 = p2q1 = q2。则 p + q = (p1+q1,p2+q2);因为 p1 = p2q1 = q2,则 p1 + q1 = p2 + q2,所以 p + qW 的元素。
  2. p = (p1,p2) 是 W 的元素,就是在平面中点使得 p1 = p2,并设 cR 中的标量。则 cp = (cp1,cp2);因为 p1 = p2,则 cp1 = cp2,所以 cpW 的元素。

一般的说,欧几里得空间 Rn 的定义自齐次线性方程的任何子集都生成子空间。在几何上说,这些子空间是穿过点0 的一些点、直线、平面。

子空间的性质[编辑]

特征化子空间的一种方式它们闭合在线性组合下。就是说,W 是子空间,当且仅当所有 W 的(有限多个)元素的线性组合也属于 W。 子空间的条件 2 和 3 是最基本的线性组合。

子空间上的运算[编辑]

给定向量空间 V的子空间 UW,则它们的交集 U ∩ W := {vV: vUvW} 也是 V 的子空间。

证明:

  1. vwU ∩ W 的元素。则 vw 属于 UW 二者。因为 U 是子空间,则 v + w 属于 U。类似的,因为 W 是子空间,则 v + w 属于 W。所以 v + w 属于 U ∩ W
  2. v 属于 U ∩ W,并设 c 是标量。则 v 属于 UW 二者。因为 UW 是子空间,cv 属于 UW 二者。

进一步的,和

 U+W = \{ \mathbf{u} + \mathbf{w} : \mathbf{u} \in U \mbox{ and } \mathbf{w} \in W \}

是一个 V 的子空间。UWU + W 的维度满足

 \dim (U\cap W) + \dim (U+W) = \dim U + \dim W

对于所有向量空间 V,集合 {0} 和 V 自身是 V 的子空间。

如果 V内积空间,则任何 V 的子空间的正交补也是子空间。

外部链接[编辑]