克萊姆法則

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线性代数
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克萊姆法則(Cramer's rule,或「克拉瑪公式」)是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,所以在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這定理在理論性方面十分有用。

基本方程[编辑]

一個線性方程組可以用矩陣向量的方程來表示:

其中的是一个方塊矩陣,而向量 是一个长度为n列向量 也一样。

克莱姆法则说明:如果是一个可逆矩陣 ),那么方程(1)有解 ,其中

當中是被列向量取代了的第i列的列向量后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用來表示,用來表示。所以等式(1)可以寫成為:

抽象方程[编辑]

R為一個環,A就是一個包含R的系數的n×n矩陣。所以:

當中det(A)就是A的行列式,以及I就是單位矩陣

證明概要[编辑]

对于 元线性方程组

把系数矩阵 表示成列向量的形式

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解.

,即

考虑 的值,利用行列式線性和交替性質,有

于是

例子[编辑]

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知:

使用矩陣來表示時就是:

当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:

以及

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知:

當中的矩陣表示為:

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

、     以及  

微分幾何上的應用[编辑]

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義

找出一條等式適合是克萊姆法則的簡單應用。

首先,我們要計算F、G、x和y的導數:

將dx和dy代入dF和dG,可得出:

因為u和v互不相关,所以du和dv的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:

現在用克萊姆法則就可得到:

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

用類似的方法就可以找到以及

基本代數上的應用[编辑]

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用[编辑]

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

外部链接[编辑]