线性代数
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向量 · 向量空间 · 行列式 · 矩阵
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克萊姆法則(英语:Cramer's rule),又稱為克拉瑪公式,是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,所以在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這定理在理論性方面十分有用。
基本方程[编辑]
一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示:
其中的
是一个
的方塊矩陣,而向量
是一个长度为n的列向量。
也一样。
克莱姆法则说明:如果
是一个可逆矩陣(
),那么方程(1)有解
,其中
(1)
當中
是被列向量
取代了
的第i列的列向量后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用
來表示
,用
來表示
。所以等式(1)可以寫成為:
。
抽象方程[编辑]
設
為一個環,
就是一個包含
的系數的
矩陣。所以:

當中
就是
的行列式,以及
就是單位矩陣。
證明概要[编辑]
对于
元线性方程组
把系数矩阵
表示成列向量的形式
由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解
.
设
,即
考虑
的值,利用行列式的線性和交替性質,有
于是
运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。
已知:


使用矩陣來表示時就是:

当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:

- 以及

用3×3矩陣的情況亦差不多。
已知:



當中的矩陣表示為:

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:
、
以及 
微分幾何上的應用[编辑]
克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。
先考慮兩條等式
和
。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義
和
。
找出一條等式適合
是克萊姆法則的簡單應用。
首先,我們要計算
、
、
和
的導數:




將
和
代入
和
,可得出:


因為
和
互不相关,所以
和
的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:




現在用克萊姆法則就可得到:

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

用類似的方法就可以找到
、
以及
。
基本代數上的應用[编辑]
克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。
線性規劃上的應用[编辑]
克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。
外部链接[编辑]