行空间与列空间

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

有实数元素的m × n 矩阵行空间Rn的由这个矩阵的行向量生成的子空间。它的维度等于矩阵的秩,最大为min(m,n)。

有实数元素的m × n 矩阵列空间Rm的由这个矩阵的列向量生成的子空间。它的维度等于矩阵的秩,最大为min(m,n)。

如果把矩阵当作从RnRm线性变换,则矩阵的列空间等于这个线性变换的

矩阵A的列向量是所有A的纵列的线性组合。如果A = [a1, ...., an],则Col A = Span {a1, ...., an}。

行空间的概念推广到了在任何上的矩阵,特别是复数C

在直觉上,给定一个矩阵A,矩阵A在向量x上的动作返回A的行向量经由x加权的一个线性组合,另外一种理解是:(1)首先投影x到A的行空间,(2)进行可逆的变换,(3)把结果向量y放置到A列空间中。所以结果的 y =A x必定居留在A的列空间中。

例子[编辑]

给定矩阵J:

  J =
  \begin{bmatrix}
    2 & 4 & 1 & 3 & 2\\
    -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\
    1 & 6 & 2 & 2 & 2\\
    3 & 6 & 2 & 5 & 1
  \end{bmatrix}

横行是 r1 = (2,4,1,3,2), r2 = (−1,−2,1,0,5), r3 = (1,6,2,2,2), r4 = (3,6,2,5,1)。 结果的J的行空间是{ r1, r2, r3, r4 } 张成R5的子空间。因为这4个行向量是线性无关的,行空间是4维的。此外,在这种情况下,可以被看出它们都正交于向量n = (6,−1,4,−4,0),所以可以推出行空间由正交于n的所有R5中的向量组成。

参见[编辑]

外部链接[编辑]