共轭转置

矩阵$A$$A$的共轭转置$A^{*}$$A^*$（又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置或伴隨矩陣）定义为：

$(A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}$$(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}$

其中$(\cdot )_{i,j}$$(\cdot)_{i,j}$表示矩阵i行j列上的元素，${\overline {(\cdot )}}$$\overline{(\cdot)}$表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

$A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}$$A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}$

其中$A^{\mathrm {T} }\,\!$$A^\mathrm{T} \,\!$是矩阵A的转置，${\overline {A}}\,\!$$\overline{A}\,\!$表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

• $A^{*}\,\!$$A^* \,\!$或$A^{\mathrm {H} }\,\!$$A^\mathrm{H} \,\!$,常用于线性代数
• $A^{\dagger }\,\!$$A^\dagger \,\!$,普遍用于量子力学
• $A^{+}\,\!$$A^+ \,\!$（但这一记号通常指矩阵的Moore-Penrose伪逆)

注意：某些情况下$A^{*}\,\!$$A^* \,\!$也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。

例子

若

$A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}$$A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}$

则

$A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}$$A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}$。

基本评注

如果A的元素是实数，那么A^*与A的转置A^T相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为$a_{ij}$$a_{ij}$的方块矩阵A称为：

• 埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A^*，也就是说，$a_{ij}=a_{ji}^{*}$$a_{ij}=a_{ji}^*$ ；
• 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = −A^*，也就是说，$a_{ij}=-a_{ji}^{*}$$a_{ij}=-a_{ji}^{*}$ ；
• 正规矩阵，如果A^*A = AA^*。

即使A不是方块矩阵，A^*A和AA^*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。

性质

• (A + B)^* = A^* + B^*。
• (rA)^* = r^*A^*，其中r为复数，r^*为r的复共轭。
• (AB)^* = B^*A^*，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。
• (A^*)^* = A
• 若A为方阵，则det(A^*) = (det A)^*，且tr(A^*) = (tr A)^*
• A是可逆矩阵，当且仅当A^*可逆，且有(A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^*.
• A^*的特征值是A的特征值的复共轭。
• <Ax,y> = <x, A^*y>，其中A为m行n列的矩阵，复向量x为n维列向量，复向量y为m维列向量，<·,·>为复数的内积。

推广

• 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间Cⁿ到C^m的线性变换，则矩阵A^*对应于A的自伴算子。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。

• 还可以进行另外一种推广：假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射，那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置，并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。

• 埃尔米特伴随

外部链接

• MathWorld上Conjugate Transpose的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。
• PlanetMath上Conjugate transpose的資料。