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共軛轉置

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線性代數
向量 · 向量空間  · 行列式  · 矩陣

矩陣共軛轉置(又稱埃爾米特共軛埃爾米特轉置)定義為:

其中表示矩陣i行j列上的元素,表示純量複共軛

這一定義也可以寫作:

其中是矩陣A的轉置表示對矩陣A中的元素取複共軛。

通常用以下記號表示矩陣A的共軛轉置:

  • ,常用於線性代數
  • ,普遍用於量子力學
  • (但這一記號通常指矩陣的摩爾-彭若斯廣義逆)

注意:某些情況下也指僅對矩陣元素取複共軛,而不做矩陣轉置,切勿混淆。

例子[編輯]

基本評註[編輯]

如果A的元素是實數,那麼A*A的轉置AT相等。把複值方塊矩陣視為複數的推廣,以及把共軛轉置視為共軛複數的推廣通常是非常有用的。

元素為的方塊矩陣A稱為:

  • 埃爾米特矩陣或自伴矩陣,如果A = A*,也就是說, ;
  • 斜埃爾米特矩陣或反埃爾米特矩陣,如果A = −A*,也就是說, ;
  • 正規矩陣,如果A*A = AA*

即使A不是方塊矩陣,A*AAA*仍然是埃爾米特矩陣和半正定矩陣

性質[編輯]

  • (A + B)* = A* + B*
  • (rA)* = r*A*,其中r為複數,r*r的複共軛。
  • (AB)* = B*A*,其中Amn列的矩陣,B為n行p列矩陣。
  • (A*)* = A
  • A方陣,則det(A*) = (det A)*,且tr(A*) = (tr A)*
  • A可逆矩陣若且唯若A*可逆,且有(A*)−1 = (A−1)*.
  • A*特徵值A的特徵值的複共軛。
  • <Ax,y> = <x, A*y>,其中Amn列的矩陣,複向量x為n維列向量,複向量y為m維列向量,<·,·>為複數的內積

推廣[編輯]

  • 從上面給出的最後一個性質可以推出,如果我們把A視為從希爾伯特空間CnCm線性變換,則矩陣A*對應於A自伴算子。於是,希爾伯特空間之間的自伴算子可以視為矩陣的共軛轉置的推廣。

外部連結[編輯]