# 向量

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$

## 表示方法

### 代数表示

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {e_{1}}}+...+a_{n}{\vec {e_{n}}},}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\vec {a}}&=&{\begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix}},\\{\vec {a}}&=&[a\ b\ c].\end{array}}}$

• ${\displaystyle n}$维列向量可视作${\displaystyle \mathbf {n} \times 1}$矩阵，${\displaystyle n}$维行向量可视作${\displaystyle 1\times \mathbf {n} }$矩阵。
• 中国大陆，横向的元素组称為「行」，纵向的称為「列」，而在臺灣則相反，横向称為「列」，纵向称為「行」[4]。详见矩阵

${\displaystyle (a,b,c)=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}}$

## 特殊向量

### 零向量

1. 零向量依旧具有方向性，但方向不定。[5]。因此，零向量與任一向量平行。[6]
2. 零向量不等于数量0，它们是两种性质完全不同的对象，即${\displaystyle {\vec {0}}\neq 0}$

## 向量的性质

### 夹角

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|}}}$

## 向量運算

### 加法与减法

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {e}}_{1}+(a_{2}+b_{2}){\vec {e}}_{2}+(a_{3}+b_{3}){\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\geq \left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|}$

### 向量与積

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+\cdots +v_{n}{\vec {e}}_{n}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v_{1}&=&w_{1}\\v_{2}&=&w_{2}\\\vdots \ &&\vdots \\v_{n}&=&w_{n}\end{array}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {e}}_{1}+(v_{2}+w_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(v_{n}+w_{n}){\vec {e}}_{n}}$

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=v_{1}\cdot w_{1}+v_{2}\cdot w_{2}+\cdots +v_{n}\cdot w_{n}}$[7]

${\displaystyle k\cdot {\vec {v}}=(k\cdot v_{1}){\vec {e}}_{1}+(k\cdot v_{2}){\vec {e}}_{2}+\cdots +(k\cdot v_{n}){\vec {e}}_{n}}$[7]

### 內積

${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$ 为两个任意向量，它们的夹角为 ${\displaystyle \theta }$，则他们的內積为：

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos {\theta }}$[7]

${\displaystyle {\vec {b}}}$ 向量在 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ 向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與 ${\displaystyle {\vec {a}}}$ 向量長度的乘積。 內積被广泛应用于物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 ${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$

### 向量积

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

### 混合积

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$

## 关于向量运算的定理

### 向量与定比分点、中点公式

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}$，则：

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}\left({\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}},{\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}\right)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AP}}\right|:\left|{\overrightarrow {PB}}\right|=n}$

${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)}$

#### 附：平面几何中定比分点定理的证明

${\displaystyle {\frac {x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{0}}}=n\Rightarrow x_{0}={\frac {x_{1}+nx_{2}}{1+n}}}$
${\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{y_{2}-y_{0}}}=n\Rightarrow y_{0}={\frac {y_{1}+ny_{2}}{1+n}}}$

## 注释

1. ^ 矢量及标量的英语皆由威廉·哈密頓创造。矢量源于拉丁语 vector（搬运人），汉语概念可想作是箭矢——箭头箭尾不同，两侧不一致，有特定指向。矢量的对应概念标量源于英语 scale（标度），拉丁语 scāla（梯子），相对于箭矢，汉语可想作是标枪——中间粗两端细，两侧一致，没有特定的指向。
2. ^ 特别地，电流属既有大小、又有正负方向的量，但由于其运算不满足平行四边形法则，公认为其不属于向量。

## 参考文献

1. ^ https://www.termonline.cn/search?searchText=%E7%9F%A2%E9%87%8F
2. ^ 同济大学数学系. 《高等数学 第六版 下册》. 高等教育出版社. 2014. ISBN 978-7-04-039662-1.，第1页
3. ^ 许以超. 《代数学引论》. 上海科学技术出版社. 1966.，第29至30页
4. ^ 周建華. 《矩陣》. 台湾: 中央圖書出版社. 2002. ISBN 9789576374913 （中文）.
5. 俞正光，李永乐. 《线性代数与解析几何》. 清华大学出版社. 1998. ISBN 978-7-302-02854-3.，第112至116页
6. ^ 人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编. 《数学必修4 A版》. 人民教育出版社. 2007. ISBN 978-7-107-20334-3.，第76页
7. 同济大学应用数学系编. 《线性代数（第4版）》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1.，第113页
8. ^ 同济大学应用数学系编. 《线性代数（第4版）》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1.，第82页
9. ^ David K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics. 2014: 第19頁. ISBN 9781292026565.
10. ^ 同济大学应用数学系编. 《线性代数（第4版）》. 高等教育出版社. 2003. ISBN 978-7-040-11941-1.，第144至145页