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叉积

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线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

数学向量代数领域,叉積英语:Cross product)又称向量积英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量二元运算,使用符号 。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 ,它们的叉积写作 ,是 所在平面的法线向量,与 垂直。叉积被广泛运用于数学、物理工程学计算机科学领域。

如果两个向量方向相同或相反(即它们非线性无关),亦或任意一个的长度为零,那么它们的叉积为零。推广开来,叉积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等;如果两个向量成直角,它们叉积的模长即为两者长度的乘积。

叉积和点积一样依赖于欧几里德空间度量,但与点积之不同的是,叉积还依赖于定向右手定則

在右手坐标系中的向量积

定义[编辑]

使用右手定則确定叉积的方向

两个向量 的叉积仅在三维空间中有定义,写作 。在物理学中,叉积有时也被写成,但在数学中 外代数中的外积。

叉积 是与 都垂直的向量 。其方向由右手定則决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。

叉积可以定义为:

其中 表示 在它们所定义的平面上的夹角)。 是向量 模长,而 则是一个与 所构成的平面垂直单位向量,方向由右手定則决定。根据上述公式,当 平行(即 为 0° 或 180°)时,它们的叉积为零向量

叉积a × b(垂直方向、紫色)随着向量 a(蓝色)和 b(红色)的夹角变化。 叉积垂直于两个向量,模长在两者平行时为零、在两者垂直时达到最大值‖a‖‖b‖。

按照惯例,向量 的方向由右手定則决定:将右手食指指向 的方向、中指指向 的方向,则此时拇指的方向即为 的方向。使用这一定则意味着叉积满足反交换律:将右手食指指向 、中指指向 ,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了叉积的符号。

由此可以看出,使用叉积需要考虑坐标系的利手性(英语:Handedness),如果使用的是左手坐标系,向量 的方向需要使用左手定则决定,与右手坐标系中的方向相反。

这样就会带来一个问题:参照系的变换不应该影响 的方向(例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换)。因此,两个向量的叉积并不是(真)向量,而是伪向量

计算[编辑]

坐标表示[编辑]

基向量ijk,也记作 e1e2e3)和向量 a 的分解(axayaz,也记作 a1a2a3)

右手坐标系中,基向量 满足以下等式:

根据反交换律可以得出:

根据叉积的定义可以得出:

零向量)。

根据以上等式,结合叉积的分配律线性关系,就可以确定任意向量的叉积。

向量 可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和:

两者的叉积 可以根据分配律展开:

即把 分解为九个仅涉及 的简单叉积之和。九个叉积各自所涉及的向量,要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中,然后合并同类项,可以得到:

即结果向量 的三个标量元素为:

也可以记作列向量的形式:

矩阵表示[编辑]

根据萨吕法则确定 uv 的叉积

叉积可以表达为这样的行列式

这个行列式可以使用萨吕法则拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为:

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为:[1]

都可以直接得到结果向量。

性质[编辑]

代数性质[编辑]

對於任意三個向量

  • 反交换律
  • (加法的左分配律
  • (加法的右分配律
  • 拉格朗日恆等式

一般來說,向量叉積不遵守約簡律,即 不表示 。此外, 不表示

但對於两个非零向量

  • 當且僅當 平行於

几何意义[编辑]

图1:平行四边形面积即叉积的模长
图2:三个向量定义平行六面体

如果以向量 为边构成一个平行四边形,那么这两个向量叉积的模长与这个平行四边形的正面积相等(如图1):

同时,如果以向量 为棱构成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积 也可以通过叉积和点积的组合得到,这种积称作标量三重积(如图2):

因为标量三重积可能为负,平行六面体的体积需要取其绝对值:

因为叉积的模长与其参数夹角的正弦有关,可以认为叉积是「垂直度」的度量,正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量,叉积为1意味着它们互相垂直,叉积为0意味着它们互相平行。点积则相反:点积为1意味着它们互相平行,点积为0意味着它们互相垂直。

单位向量还能带来两个特性:两个单位向量的点积是它们夹角的余弦(可正可负);它们叉积的模长则为夹角的正弦(始终为正)。

向量微分[编辑]

對於實數 和兩個向量值函數 乘積法則成立:

三維坐標[编辑]

给定直角坐标系的单位向量满足下列等式:

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转

高维情形[编辑]

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

  • 同时与 垂直:

应用[编辑]

另外,在物理学力学电磁学光学计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩角动量洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。

参见[编辑]

  • ^ Dennis G. Zill; Michael R. Cullen. Equation 7: a × b as sum of determinants. cited work. Jones & Bartlett Learning. 2006: 321. ISBN 0-7637-4591-X.