在一个旋转系统裏，作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
、位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
、力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
、动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
、角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
，這些物理量之間的关系。
在物理学 裏，作用力 促使物體繞著轉動軸 或支點 轉動的趨向，[1] 力矩 （torque ），也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩 。力矩能够使物体改变其旋转运动 。推擠或拖拉涉及到作用力 ，而扭转則涉及到力矩。如图右，力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
叉积 。
簡略地说，力矩是一種施加於好像螺栓 或飛輪 一類的物體的扭轉力。例如，用扳手 的開口箝緊螺栓 或螺帽 ，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
根據国际单位制 ，力矩的单位是牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 。本物理量非能量，因此不能以焦耳 （J）作單位；根據英制单位 ，力矩的单位则是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
希腊字母
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,\!}
力矩與三個物理量有關：施加的作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
力矩的大小為
τ
=
r
F
sin
θ
{\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}
力矩的概念，起源于阿基米德 对杠杆 的研究。
力矩 等於作用於杠杆的作用力 乘以支点 到力的垂直距离 。例如，3 牛顿 的作用力，施加於离支点2 米 处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量 。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則 来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向[2]
假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
施加於位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
會產生力矩。這力矩
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
的大小為
τ
=
|
r
|
|
F
⊥
|
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
，方向為垂直於屏幕向外。
更一般地，如圖右，假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
力矩大小為
τ
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
其中，
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
力矩大小也可以表示為
τ
=
r
F
⊥
{\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}
其中，
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
力矩與角動量之間的關係 [ 编辑 ]
地心引力
F
g
{\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}
的力矩造成角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
的改变。因此，
陀螺 呈现
进动 現象。
假設一個粒子的位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}
粒子的角動量對於時間的導數為
d
L
d
t
=
r
×
d
p
d
t
+
d
r
d
t
×
p
=
r
×
m
d
v
d
t
+
v
×
m
v
=
r
×
m
a
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} \\&=\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+\mathbf {v} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}
；
其中，
m
{\displaystyle m\,\!}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
應用牛頓第二定律 ，
F
=
m
a
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}
d
L
d
t
=
r
×
F
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
按照力矩的定義，
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
時間
t
{\displaystyle t\,\!}
假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩
τ
n
e
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}
τ
1
+
⋯
+
τ
n
=
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，
L
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
其中，
I
{\displaystyle I\,\!}
轉動慣量 ，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
角速度 。
所以，取上述方程式對時間的導數：
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
=
d
(
I
ω
)
d
t
=
I
d
ω
d
t
=
I
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
其中，
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
角加速度 。
力矩的定义是距离 乘以作用力 。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 [3] 国际重量测量局 （Bureau International des Poids et Mesures ）规定这次序应是牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
⋅
{\displaystyle \cdot }
[4]
根據国际单位制 ，能量 与功量 的单位是焦耳 ，定义为1牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
点积 距离的标量；而力矩是距离叉积 作用力的向量。当然，量纲 相同并不尽是巧合，使1牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
全转 ，需要恰巧
2
π
{\displaystyle 2\pi \,\!}
E
=
τ
θ
{\displaystyle E=\tau \theta \,\!}
其中，
E
{\displaystyle E\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
弧度 。
根據英制 ，力矩的单位是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
矩臂方程式 [ 编辑 ] 在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：
τ
=
(
moment\ arm
)
⋅
force
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\textrm {moment\ arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}
右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
静力概念 [ 编辑 ] 当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
∑
F
x
=
0
{\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}
∑
F
y
=
0
{\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}
∑
τ
=
0
{\displaystyle \sum \tau =0\,\!}
这里，
F
x
,
F
y
{\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
联立方程式 有解，则称此系统为静定 系统；不然，则称为静不定 系统。
力矩、能量和功率之間的關係 [ 编辑 ] 假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功 。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功 。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，
W
=
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}
其中，
W
{\displaystyle W\,\!}
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}
根據功能定理 ，
W
{\displaystyle W\,\!}
旋轉動能
K
r
o
t
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}
K
r
o
t
=
1
2
I
ω
2
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}
功率 是單位時間內所做的機械功 。對於旋轉運動，功率
P
{\displaystyle P\,\!}
P
=
τ
⋅
ω
{\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。
實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度 （不是每分鐘轉速 rpm，也不是每秒鐘轉速）。
力矩原理 [ 编辑 ] 力矩原理 闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理 (Varignon's theorem )[5]
(
r
×
F
1
)
+
(
r
×
F
2
)
+
⋯
=
r
×
(
F
1
+
F
2
+
⋯
)
{\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}
参考文献 [ 编辑 ]
^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers . 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8 . ^ *喬治亞州州立大學 （Georgia State University ）線上物理網頁：力矩的右手定則 , [2007-09-08 ] ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] ^ Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4 .
外部链接 [ 编辑 ]
