力矩

在一个旋转系统裏，作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$、位置向量$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$、力矩${\boldsymbol {\tau }}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}\,\!$、动量$\mathbf {p} \,\!$${\mathbf {p}}\,\!$、角动量$\mathbf {L} \,\!$${\mathbf {L}}\,\!$，這些物理量之間的关系。

在物理学裏，作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，稱為力矩（torque），也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力 ，而扭转則涉及到力矩。如图右，力矩${\boldsymbol {\tau }}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}\,\!$等於径向向量$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$与作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$的叉积。

簡略地说，力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪一類的物體的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿$\cdot$$\cdot$米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺$\cdot$$\cdot$磅。力矩的表示符号是希腊字母${\boldsymbol {\tau }}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}\,\!$，或$\mathbf {M} \,\!$${\mathbf {M}}\,\!$。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$、從轉軸到施力點的位移向量$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$、兩個向量之間的夾角$\theta \,\!$$\theta\,\!$。力矩${\boldsymbol {\tau }}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}\,\!$以向量方程式表示為

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$${\boldsymbol {\tau }}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}\,\!$。

力矩的大小為

$\tau =rF\sin \theta \,\!$$\tau =rF\sin \theta \,\!$。

历史

力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。

定义

用右手定則决定力矩方向

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向。

假設作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$施加於位置為$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量$F_{\perp }\,\!$$F_{{\perp }}\,\!$會產生力矩。這力矩${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$${\boldsymbol {\tau }}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}\,\!$的大小為$\tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!$$\tau =|{\mathbf {r}}||{\mathbf {F}}_{{\perp }}|=|{\mathbf {r}}||{\mathbf {F}}|\sin \theta \,\!$，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$施加於位置為$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$的粒子。選擇原點為參考點，力矩${\boldsymbol {\tau }}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}\,\!$以方程式定義為

${\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$${\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}\,\!$。

力矩大小為

$\tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!$$\tau =|{\mathbf {r}}||{\mathbf {F}}|\sin \theta \,\!$；

其中，$\theta \,\!$$\theta\,\!$是兩個向量$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$與$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

$\tau =rF_{\perp }\,\!$$\tau =rF_{{\perp }}\,\!$；

其中，$F_{\perp }\,\!$$F_{{\perp }}\,\!$是作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$對於$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$和作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係

地心引力$\mathbf {F_{g}} \,\!$${\mathbf {F_{g}}}\,\!$的力矩造成角动量$\mathbf {L} \,\!$${\mathbf {L}}\,\!$的改变。因此，陀螺呈现进动現象。

假設一個粒子的位置為$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$，動量為$\mathbf {p} \,\!$${\mathbf {p}}\,\!$。選擇原點為參考點，此粒子的角動量$\mathbf {L} \,\!$${\mathbf {L}}\,\!$為

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}\,\!$。

粒子的角動量對於時間的導數為

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} \\&=\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+\mathbf {v} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!$${\begin{aligned}{\frac {d{\mathbf {L}}}{dt}}&={\mathbf {r}}\times {\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\times {\mathbf {p}}\\&={\mathbf {r}}\times m{\frac {d{\mathbf {v}}}{dt}}+{\mathbf {v}}\times m{\mathbf {v}}\\&={\mathbf {r}}\times m{\mathbf {a}}\\\end{aligned}}\,\!$ ；

其中，$m\,\!$$m\,\!$是質量，$\mathbf {v} \,\!$$\mathbf{v}\,\!$是速度，$\mathbf {a} \,\!$${\mathbf {a}}\,\!$是加速度。

應用牛頓第二定律，$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!$${\mathbf {F}}=m{\mathbf {a}}\,\!$，可以得到

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$${\frac {d{\mathbf {L}}}{dt}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}\,\!$。

按照力矩的定義，${\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$${\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}\,\!$，所以，

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}}{{\mathrm {d}}t}}\,\!$。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量$\mathbf {L} \,\!$${\mathbf {L}}\,\!$對於時間$t\,\!$$t\,\!$的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!$${\boldsymbol {\tau }}_{{{\mathrm {net}}}}\,\!$共同決定角動量的對於時間的變化：

${\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{{{\mathrm {net}}}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}}{{\mathrm {d}}t}}\,\!$。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!$${\mathbf {L}}=I{\boldsymbol {\omega }}\,\!$；

其中，$I\,\!$$I\,\!$是物體對於固定軸的轉動慣量，${\boldsymbol {\omega }}\,\!$$\boldsymbol{\omega}\,\!$是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}_{{{\mathrm {net}}}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {L}}}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {{\mathrm {d}}(I{\boldsymbol {\omega }})}{{\mathrm {d}}t}}=I{\frac {{\mathrm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\mathrm {d}}t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!$；

其中，${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$${\boldsymbol {\alpha }}\,\!$是物體的角加速度。

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿$\cdot$$\cdot$米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿$\cdot$$\cdot$米，而不是米$\cdot$$\cdot$牛顿。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿$\cdot$$\cdot$米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿$\cdot$$\cdot$米的力矩，作用1 全转，需要恰巧$2\pi \,\!$$2\pi \,\!$焦耳的能量：

$E=\tau \theta \,\!$$E=\tau \theta \,\!$。

其中，$E\,\!$$E\,\!$是能量，$\theta \,\!$$\theta\,\!$是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺$\cdot$$\cdot$磅。

矩臂方程式

矩臂图

在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：

${\boldsymbol {\tau }}=({\textrm {moment\ arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!$${\boldsymbol {\tau }}=({\textrm {moment\ arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!$。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置$\mathbf {r} \,\!$$\mathbf{r}\,\!$、作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

$\sum F_{x}=0\,\!$$\sum F_{x}=0\,\!$，

$\sum F_{y}=0\,\!$$\sum F_{y}=0\,\!$，

$\sum \tau =0\,\!$$\sum \tau =0\,\!$。

这里，$F_{x},\ F_{y}\,\!$$F_{x},\ F_{y}\,\!$是作用力$\mathbf {F} \,\!$${\mathbf {F}}\,\!$分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

$W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!$$W=\int _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}\tau \ {\mathrm {d}}\theta \,\!$；

其中，$W\,\!$$W\,\!$是機械功，$\theta _{1}\,\!$$\theta _{1}\,\!$、$\theta _{2}\,\!$$\theta _{2}\,\!$分別是初始角和終結角，$\mathrm {d} \theta \,\!$${\mathrm {d}}\theta \,\!$是無窮小角位移元素。

根據功能定理，$W\,\!$$W\,\!$也代表物體的旋轉動能$K_{\mathrm {rot} }\,\!$$K_{{{\mathrm {rot}}}}\,\!$的改變，以方程式表達，

$K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!$$K_{{{\mathrm {rot}}}}={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!$。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率$P\,\!$$P\,\!$以方程式表達為

$P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!$$P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!$。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)，以方程式表達，

$(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!$$({\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}_{1})+({\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}_{2})+\cdots ={\mathbf {r}}\times ({\mathbf {F}}_{1}+{\mathbf {F}}_{2}+\cdots )\,\!$。

參閱

• 馬力
• 扭力轉換器
• 刚体动力学
• 機械平衡（mechanical equilibrium）
• 扭矩扳手（torque wrench）

参考文献

• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4. 

外部链接

• 模擬力矩平衡的Java小程式
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET.
• Torque Unit Converter