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力矩

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在一个旋转系统裏，作用力\mathbf{F}\,\!、位置向量\mathbf{r}\,\!、力矩\boldsymbol{\tau}\,\!、动量\mathbf{p}\,\!、角动量\mathbf{L}\,\!，這些物理量之間的关系。

在物理学裏，作用力使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，[1]稱為力矩（torque）。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力 ，而扭转則涉及到力矩。如图右，力矩\boldsymbol{\tau}\,\!等於径向向量\mathbf{r}\,\!与作用力\mathbf{F}\,\!的叉积。

簡略地说，力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪一類的物體的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿\cdot米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺\cdot磅。力矩的表示符号是希腊字母\boldsymbol{\tau}\,\!，或\mathbf{M}\,\!。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力\mathbf{F}\,\!、從轉軸到施力點的位移向量\mathbf{r}\,\!、兩個向量之間的夾角\theta\,\!。力矩\boldsymbol{\tau}\,\!以向量方程式表示為

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!。

力矩的大小為

\tau = rF\sin \theta\,\!。

历史[编辑]

力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。

定义[编辑]

用右手定則决定力矩方向

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向[2]。

假設作用力\mathbf{F}\,\!施加於位置為\mathbf{r}\,\!的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量F_{\perp}\,\!會產生力矩。這力矩\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!的大小為\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}_{\perp}|= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力\mathbf{F}\,\!施加於位置為\mathbf{r}\,\!的粒子。選擇原點為參考點，力矩\boldsymbol{\tau}\,\!以方程式定義為

\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!。

力矩大小為

\tau= |\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\theta\,\!；

其中，\theta\,\!是兩個向量\mathbf{F}\,\!與\mathbf{r}\,\!之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

\tau = rF_{\perp}\,\!；

其中，F_{\perp}\,\!是作用力\mathbf{F}\,\!對於\mathbf{r}\,\!的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可以推論，力矩垂直於位置向量\mathbf{r}\,\!和作用力\mathbf{F}\,\!。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係[编辑]

地心引力\mathbf{F_g}\,\!的力矩造成角动量\mathbf{L}\,\!的改变。因此，陀螺呈现进动現象。

假設一個粒子的位置為\mathbf{r}\,\!，動量為\mathbf{p}\,\!。選擇原點為參考點，此粒子的角動量\mathbf{L}\,\!為

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,\!。

粒子的角動量對於時間的導數為

\begin{align}\frac{d\mathbf{L}}{dt} & = \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} + \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} \\ & =\mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} + \mathbf{v} \times m\mathbf{v} \\ & =\mathbf{r} \times m \mathbf{a} \\ \end{align}\,\! ；

其中，m\,\!是質量，\mathbf{v}\,\!是速度，\mathbf{a}\,\!是加速度。

應用牛頓第二定律，\mathbf{F}=m\mathbf{a}\,\!，可以得到

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!。

按照力矩的定義，\boldsymbol{\tau}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{F}\,\!，所以，

\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量\mathbf{L}\,\!對於時間t\,\!的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}\,\!共同決定角動量的對於時間的變化：

\boldsymbol{\tau}_1 + \cdots + \boldsymbol{\tau}_n = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}\,\!。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}\,\!；

其中，I\,\!是物體對於固定軸的轉動慣量，\boldsymbol{\omega}\,\!是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = I\boldsymbol{\alpha}\,\!；

其中，\boldsymbol{\alpha}\,\!是物體的角加速度。

单位[编辑]

力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿\cdot米[3]（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿\cdot米，而不是米\cdot牛顿[4]。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿\cdot米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿\cdot米的力矩，作用1 全转，需要恰巧2\pi\,\!焦耳的能量：

E= \tau\theta\,\!。

其中，E\,\!是能量，\theta\,\!是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺\cdot磅。

矩臂方程式[编辑]

矩臂图

在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：

\boldsymbol{\tau} = (\textrm{moment\ arm}) \cdot \textrm{force}\,\!。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置\mathbf{r}\,\!、作用力\mathbf{F}\,\!（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念[编辑]

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

\sum F_x =0\,\!，
\sum F_y =0\,\!，
\sum \tau =0\,\!。

这里，F_x,\ F_y \,\!是作用力\mathbf{F}\,\!分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係[编辑]

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta\,\!；

其中，W\,\!是機械功，\theta_1\,\!、\theta_2\,\!分別是初始角和終結角，\mathrm{d}\theta\,\!是無窮小角位移元素。

根據功能定理，W\,\!也代表物體的旋轉動能K_{\mathrm{rot}}\,\!的改變，以方程式表達，

K_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\,\!。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率P\,\!以方程式表達為

P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}\,\!。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理[编辑]

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)[5]，以方程式表達，

(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1) + (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2) + \cdots = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots)\,\!。

參閱[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 0-53440-842-7.
  2. ^ *喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：力矩的右手定則, [2007-09-08] 
  3. ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01] 
  4. ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01] 
  5. ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0809-4. 

外部连结[编辑]
表述形式
基础概念
重要理论
应用
科学史
分支
取自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=力矩&oldid=33199912”