在一个旋转系统裏,作用力

、位置向量

、力矩

、动量

、角动量

,這些物理量之間的关系。
在物理学裏,作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向,[1]稱為力矩(英語:torque 或 moment),也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力
,而扭转則涉及到力矩。如图右,力矩
等於径向向量
与作用力
的叉積。
簡略地说,力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪一類的物體的扭轉力。例如,用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
根據国际单位制,力矩的单位是牛顿
米。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作單位;根據英制单位,力矩的单位则是英尺
磅。力矩的表示符号是希腊字母
,或
。
力矩與三個物理量有關:施加的作用力
、從轉軸到施力點的位移向量
、兩個向量之間的夾角
。力矩
以向量方程式表示為
。
力矩的大小為
。
力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如,3 牛顿的作用力,施加於离支点2 米处,所产生的力矩,等於1牛顿的作用力,施加於离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[2]。
假設作用力

施加於位置為

的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量

會產生力矩。這力矩

的大小為

,方向為垂直於屏幕向外。
更一般地,如圖右,假設作用力
施加於位置為
的粒子。選擇原點為參考點,力矩
以方程式定義為
。
力矩大小為
;
其中,
是兩個向量
與
之間的夾角。
力矩大小也可以表示為
;
其中,
是作用力
對於
的垂直分量。
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質,可推論,力矩垂直於位置向量
和作用力
。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。
力矩與角動量之間的關係[编辑]
地心引力
的力矩造成角动量

的改变。因此,
陀螺呈现
进动現象。
假設一個粒子的位置為
,動量為
。選擇原點為參考點,此粒子的角動量
為
。
粒子的角動量對於時間的導數為
;
其中,
是質量,
是速度,
是加速度。
應用牛頓第二定律,
,可以得到
。
按照力矩的定義,
,所以,
。
作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量
對於時間
的導數。
假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的合力矩
共同決定角動量的對於時間的變化:
。
關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,
;
其中,
是物體對於固定軸的轉動慣量,
是物體的角速度。
所以,取上述方程式對時間的導數:
;
其中,
是物體的角加速度。
力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制,力矩的单位是牛顿
米[3](Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局(Bureau International des Poids et Mesures)规定这次序应是牛顿
米,而不是米
牛顿[4]。
根據国际单位制,能量与功量的单位是焦耳,定义为1牛顿
米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积距离的标量;而力矩是距离叉积作用力的向量。当然,量纲相同并不尽是巧合,使1牛顿
米的力矩,作用1 全转,需要恰巧
焦耳的能量:
。
其中,
是能量,
是移动的角度,单位是弧度。
根據英制,力矩的单位是英尺
磅。
矩臂方程式[编辑]
在物理学外,其他的学术界裡,力矩时常会如以下定义:
。
右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置
、作用力
(force)。这个定义並没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。
静力概念[编辑]
当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
,
,
。
这里,
是作用力
分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程式有解,则称此系统为静定系统;不然,则称为静不定系统。
力矩、能量和功率之間的關係[编辑]
假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,
;
其中,
是機械功,
、
分別是初始角和終結角,
是無窮小角位移元素。
根據功能定理,
也代表物體的旋轉動能
的改變,以方程式表達,
。
功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動,功率
以方程式表達為
。
請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。
實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度(不是每分鐘轉速rpm,也不是每秒鐘轉速)。
力矩原理[编辑]
力矩原理闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)[5](以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名),以方程式表達,
。
参考文献[编辑]
- ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
- ^ *喬治亞州州立大學(Georgia State University)線上物理網頁:力矩的右手定則, [2007-09-08], (原始内容存档于2007-08-19)
- ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2007-05-19)
- ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2005-03-16)
- ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
外部链接[编辑]
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线性(平动)的量 |
|
角度(转动)的量 |
量纲 |
— |
L |
L2 |
量纲 |
— |
— |
— |
T |
时间: t s |
absement: A m s |
|
T |
时间: t s |
|
|
— |
|
距离: d, 位矢: r, s, x, 位移 m |
面积: A m2 |
— |
|
角度: θ, 角移: θ rad |
立體角: Ω rad2, sr |
T−1 |
頻率: f s−1, Hz |
速率: v, 速度: v m s−1 |
面積速率: ν, 比角动量: h m2 s−1 |
T−1 |
頻率: f s−1, Hz |
角速率: ω, 角速度: ω rad s−1 |
|
T−2 |
|
加速度: a m s−2 |
|
T−2 |
|
角加速度: α rad s−2 |
|
T−3 |
|
加加速度: j m s−3 |
|
T−3 |
|
角加加速度: ζ rad s−3 |
|
|
|
M |
质量: m kg |
|
|
ML2 |
转动惯量: I kg m2 |
|
|
MT−1 |
|
动量: p, 冲量: J kg m s−1, N s |
作用量: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
ML2T−1 |
|
角动量: L, 角冲量: ΔL kg m2 s−1 |
作用量: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
MT−2 |
|
力: F, 重量: Fg kg m s−2, N |
能量: E, 功: W kg m2 s−2, J |
ML2T−2 |
|
力矩: τ, moment: M kg m2 s−2, N m |
能量: E, 功: W kg m2 s−2, J |
MT−3 |
|
yank: Y kg m s−3, N s−1 |
功率: P kg m2 s−3, W |
ML2T−3 |
|
rotatum: P kg m2 s−3, N m s−1 |
功率: P kg m2 s−3, W |
|
|