在一個旋轉系統裏，作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
力矩 （moment of force [1] [2] 物理學 中，是作用力 促使物體繞着轉動軸 或支點 轉動的趨向[3] 螺栓 、飛輪 一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手 的開口箝緊螺栓 或螺帽 ，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
使機械元件轉動的力矩又稱轉矩 （turning moment[4] [5] 轉動力矩 ；在材料力學 、土木工程 和建築學 中，作用引起的結構或構件某一截面上的剪力所構成的力偶矩 ，稱為扭矩 [6] 彎矩 [7]
力矩能夠使物體改變其旋轉運動 。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭轉則涉及到力矩。如上圖，力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
叉積 。
根據國際單位制 ，力矩的單位是牛頓
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 。本物理量非能量，因此不能以焦耳 （J）作單位；根據英制單位 ，力矩的單位則是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
希臘字母
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,\!}
力矩與三個物理量有關：施加的作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
力矩的大小為
τ
=
r
F
sin
θ
{\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}
用右手定則決定力矩方向 力矩 等於作用於槓桿的作用力 乘以支點 到力的垂直距離 。例如，3 牛頓 的作用力，施加於離支點2 米 處，所產生的力矩，等於1牛頓的作用力，施加於離支點6米處，所產生的力矩。力矩是個向量 。力矩的方向與它所造成的旋轉運動的旋轉軸同方向。力矩的方向可以用右手定則 來決定。假設作用力垂直於槓桿。將右手往槓桿的旋轉方向彎捲，伸直的大拇指與支點的旋轉軸同直線，則大拇指指向力矩的方向[8]
假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
τ
=
|
r
|
|
F
⊥
|
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
更一般地，如圖右，假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
力矩大小為
τ
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
其中，
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
力矩大小也可以表示為
τ
=
r
F
⊥
{\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}
其中，
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
力矩與角動量之間的關係 [ 編輯 ] 地心重力
F
g
{\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
陀螺 呈現進動 現象。假設一個粒子的位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}
粒子的角動量對於時間的導數為
d
L
d
t
=
d
r
d
t
×
p
+
r
×
d
p
d
t
=
v
×
m
v
+
r
×
m
d
v
d
t
=
r
×
m
a
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}
； 其中，
m
{\displaystyle m\,\!}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
應用牛頓第二定律 ，
F
=
m
a
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}
d
L
d
t
=
r
×
F
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
按照力矩的定義，
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
時間
t
{\displaystyle t\,\!}
假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的淨力矩
τ
n
e
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}
τ
1
+
⋯
+
τ
n
=
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
關於物體的繞着固定軸的旋轉運動，
L
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
其中，
I
{\displaystyle I\,\!}
轉動慣量 ，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
角速度 。
所以，取上述方程式對時間的導數：
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
=
d
(
I
ω
)
d
t
=
I
d
ω
d
t
=
I
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
其中，
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
角加速度 。
力矩的定義是距離 乘以作用力 。根據國際單位制，力矩的單位是牛頓
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 [9] 國際重量測量局 （Bureau International des Poids et Mesures ）規定這次序應是牛頓
⋅
{\displaystyle \cdot }
⋅
{\displaystyle \cdot }
[10]
根據國際單位制 ，能量 與功量 的單位是焦耳 ，定義為1牛頓
⋅
{\displaystyle \cdot }
點積 距離的純量；而力矩是距離叉積 作用力的向量。當然，因次 相同並不儘是巧合，使1牛頓
⋅
{\displaystyle \cdot }
全轉 ，需要恰巧
2
π
{\displaystyle 2\pi \,\!}
E
=
τ
θ
{\displaystyle E=\tau \theta \,\!}
其中，
E
{\displaystyle E\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
弧度 。
根據英制 ，力矩的單位是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
矩臂方程式 [ 編輯 ] 矩臂圖 在物理學外，其他的學術界裏，力矩時常會如以下定義：
τ
=
(
moment arm
)
⋅
force
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}
右圖顯示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相對位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
靜力概念 [ 編輯 ] 當一個物體在靜態平衡時，淨力是零，對任何一點的淨力矩也是零。二維空間的平衡要求是
∑
F
x
=
0
{\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}
∑
F
y
=
0
{\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}
∑
τ
=
0
{\displaystyle \sum \tau =0\,\!}
這裏，
F
x
,
F
y
{\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!}
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
聯立方程式 有解，則稱此系統為靜定 系統；不然，則稱為靜不定 系統。
力矩、能量和功率之間的關係 [ 編輯 ] 假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功 。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功 。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，
W
=
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}
其中，
W
{\displaystyle W\,\!}
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}
根據功能定理 ，
W
{\displaystyle W\,\!}
旋轉動能
K
r
o
t
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}
K
r
o
t
=
1
2
I
ω
2
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}
功率 是單位時間內所做的機械功 。對於旋轉運動，功率
P
{\displaystyle P\,\!}
P
=
τ
⋅
ω
{\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。
實際上，在與大型輸電網絡相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網絡的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度 （不是每分鐘轉速 rpm，也不是每秒鐘轉速）。
力矩原理 [ 編輯 ] 力矩原理 闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的淨力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理 (Varignon's theorem )[11] 皮埃爾·伐里農 命名），以方程式表達，
(
r
×
F
1
)
+
(
r
×
F
2
)
+
⋯
=
r
×
(
F
1
+
F
2
+
⋯
)
{\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}
參考文獻 [ 編輯 ]
^ https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2 ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . （原始內容存檔 於2023-05-19）. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers . 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8 .
^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . （原始內容存檔 於2023-05-19）. ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . （原始內容存檔 於2023-05-19）. ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . （原始內容存檔 於2023-05-19）. ^ 存档副本 . [2023-05-19 ] . （原始內容存檔 於2023-05-19）. ^ *喬治亞州州立大學 （Georgia State University ）線上物理網頁：力矩的右手定則 , [2007-09-08 ] , （原始內容存檔 於2007-08-19）
^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] , （原始內容 存檔於2007-05-19） ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] , （原始內容 存檔於2005-03-16） ^ Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
延伸閱讀 [ 編輯 ] 外部連結 [ 編輯 ]
線性（平動）的量
角度（轉動）的量
因次
—
L
L2
因次
—
—
—
T
時間 : t s 位移積分 : A m s T
時間 : t s
—
距離 : d 位矢 : r s x 位移 m 面積 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面積速率 : ν m2 s−1 T−1
頻率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
質量 : m kg ML2
轉動慣量 : I m2
MT−1
動量 : p 衝量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角動量 : L 角衝量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
yank Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
