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欧拉角

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萊昂哈德·歐拉

萊昂哈德·歐拉歐拉角來描述剛體三維歐幾里得空間取向。對於任何參考系,一個剛體的取向,是依照順序,從這參考系,做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以,剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說,任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。

靜態的定義[编辑]

三個歐拉角: ()。藍色的軸是xyz-軸,紅色的軸是XYZ-坐標軸。綠色的線是交點線 (N)。

對於在三維空間裏的一個參考系,任何坐標系的取向,都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系,是靜止不動的。而坐標系則固定於剛體,隨著剛體的旋轉而旋轉。

參閲右圖。設定xyz-軸為參考系的參考軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為交點線,用英文字母(N)代表。zxz順規的歐拉角可以靜態地這樣定義:

  • 是x-軸與交點線的夾角,
  • 是z-軸與Z-軸的夾角,
  • 是交點線與X-軸的夾角。

很可惜地,對於夾角的順序和標記,夾角的兩個軸的指定,並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時,我們必須明確的表示出夾角的順序,指定其參考軸。

實際上,有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外,不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述,或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此,使用歐拉角前,必須先做好明確的定義。

角值範圍[编辑]

  • 值分別從0至 弧度
  • 值從0至弧度。

對應於每一個取向,設定的一組歐拉角都是獨特唯一的;除了某些例外:

  • 兩組歐拉角的,一個是0,一個是,而分別相等,則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。
  • 兩組歐拉角的,一個是0,一個是,而分別相等,則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。

旋轉矩陣[编辑]

前面提到,設定剛體取向的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣合成的:

从左到右依次代表繞著z軸的旋轉、繞著交點線的旋轉、繞著Z軸的旋轉。

經過一番運算,

逆矩陣是:

別種順序[编辑]

經典力學裏,時常用zxz順規來設定歐拉角;照著第二個轉動軸的軸名,簡稱為x順規。另外,還有別種歐拉角組。合法的歐拉角組中,唯一的限制是,任何兩個連續的旋轉,必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此,一共有12種順規。例如,y順規,第二個轉動軸是y-軸,時常用在量子力學核子物理學粒子物理學。另外,還有一種順規,xyz順規,是用在航空航天工程學;參閱泰特-布萊恩角英语Tait-Bryan angles

動態的定義[编辑]

我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定於剛體的坐標軸的三個旋轉的複合;另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的複合。用動態的定義,我們能更了解,歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意,以下的描述, XYZ坐標軸是旋轉的剛體坐標軸;而xyz坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。

  • A)繞著XYZ坐標軸旋轉:最初,兩個坐標系統xyz與XYZ的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著Z-軸旋轉角值。然後,繞著X-軸旋轉角值。最後,繞著Z-軸作角值的旋轉。
  • B)繞著xyz坐標軸旋轉:最初,兩個坐標系統xyz與XYZ的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著z-軸旋轉角值。然後,繞著x-軸旋轉角值。最後,繞著z-軸作角值的旋轉。

參閱歐拉角圖,定義A與靜態定義的相等,這可以直接用幾何製圖方法來核對。

定義A與定義B的相等可以用旋轉矩陣來證明:

思考任何一點,在xyz與XYZ坐標系統的坐標分別為。定義角算符為繞著Z-軸旋轉角值。那麼,定義A可以表述如下:

用旋轉矩陣表示,

思考任何一點,在xyz與XYZ坐標系統的坐標分別為。定義角算符為繞著z-軸旋轉角值。則定義B可以表述如下:

用旋轉矩陣表示,

假設, .那麼,

乘以逆算符,

但是,從旋轉矩陣可以觀察出,

所以,

定義A與定義B是相等的。

歐拉角性質[编辑]

歐拉角在SO(3)上,形成了一個坐標卡 (chart);SO(3)是在三維空間裏的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的,除了一個極坐標式的奇點 。

類似的三個角的分解也可以應用到SU(2);複數二維空間裏旋轉的特殊酉群;這裏,值在 0 與之間。這些角也稱為歐拉角。

應用[编辑]

歐拉角廣泛地被應用於經典力學中的剛體研究,與量子力學中的角動量研究。

在剛體的問題上, xyz坐標系是全域坐標系,XYZ坐標系是局域坐標系。全域坐標系是不動的;而局域坐標系牢嵌於剛體內。關於動能的演算,通常用局域坐標系比較簡易;因為,慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量(有九個分量,其中六個是獨立的)對角線化,那麼,會得到一組主軸,以及一個轉動慣量(只有三個分量)。

量子力學裏,詳盡的描述SO(3)的形式,對於精準的演算,是非常重要的,並且幾乎所有研究都採用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究,對於抽象群理論方法(稱為Gruppenpest),物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候;對歐拉角的信賴,在基本理論研究來說,是必要的。

歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式通常在前面添上歸一化因子。例如,我們要生成均勻隨機取向,使分別均勻的選隨機值;使均勻的選隨機值。

單位四元數,又稱歐拉參數,提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷,概念上比較容易理解,並能避免一些技術上的問題,如萬向鎖現象。因為這些原因,許多高速度三維圖形程式製作都使用四元數。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.
  • Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
  • Andrew Gray, A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, MacMillan, London, 1918.
  • M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley, New York, NY, 1957.
  • Symon, Keith. Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. 1971. ISBN 978-0-201-07392-8. 
  • Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1997. ISBN 0-750-62896-0. 

外部連結[编辑]