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复合函数

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数学中,复合函数英语:function composition)是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果,所得到的第三个函数。例如,函数 f : XYg : YZ 可以复合,得到从 X 中的 x 映射到 Zg(f(x)) 的函数。直观来说,如果 zy 的函数,yx 的函数,那么 zx 的函数。得到的复合函数记作 g ∘ f : XZ,定义为对 X 中的所有 x(g ∘ f )(x) = g(f(x))[note 1] 直观地说,复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程,内函数的输出就是外函数的输入。

函数的复合是关系复合的一个特例,因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。[1] 复合函数还有一些其他性质。

例子[编辑]

g ∘ ffg 的复合。例如,(g ∘ f )(c) = #.
两个函数复合的具体例子
  • 有限集上的函数复合:若 f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)},则 gf = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}.
  • 无限集上的函数复合:若 f: ℝ → ℝ (其中 是所有实数的集合)表达式为 f(x) = 2x + 4,而 g: ℝ → ℝ 表达式为 g(x) = x3,则:
(fg)(x) = f(g(x)) = f(x3) = 2x3 + 4, and
(gf)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)3.
  • 如果一架飞机在 t 时刻的海拔为 h(t),而海拔 x 处的氧气浓度为 c(x),那么 (ch)(t) 描述了 t 时刻飞机周围的氧气浓度

性质[编辑]

函数的复合总是可结合的—这个性质来自于复合关系。[1] 也就是说,如果 f, g, h 适当选择定义域到达域,就会有 f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h,其中括号表示优先进行复合。由于括号如何放置没有分别,因此可以不用括号,也不会引起任何歧义。

严格来说,只有当 f 的到达域等于 g 的定义域时,才可以构造复合 g ∘ f;更宽泛地说,只要前者是后者的子集就足够了。[note 2] 此外,通常很容易通过限制 f 的定义域,使得 f 产生的值都在n g 的定义域内;例如,函数 f : (−∞,+9] 定义为 f(x) = 9 − x2,函数 g : [0,+∞) → ℝ 定义为 g(x) = x 复合而成的 g ∘ f,可以把定义域限制在區間 [−3,+3] 上。

绝对值函数与三次函數,两个函数以不同的次序复合。这表明了函数复合不遵守交换律

g ∘ f = f ∘ g 时,我们会说 gf可交换的。可交换性是一个特殊的性质,只有特定函数具有,而且通常是在特定的情况下满足。例如,仅当 x ≥ 0|x| + 3 = |x + 3|。上图也是一个说明可交换性例子。

一一对应函数的复合函数总是一一对应的。同样,两个满射函数的复合也总是满射的。因此,两个双射的复合也还是双射。复合函数的反函數(假定函数可逆)具有性质 (f ∘ g)−1 = ( g−1f−1)[2]

涉及到可导函数的复合函数的导数,可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。

复合幺半群[编辑]

假设我们有两个(或多个)函数 f: XX, g: XX,定义域与到达域相同;这些函数一般称作变换。于是,我们可以构造多个变换复合而成的链,比如 ffgf。这种链具有幺半群代数结构,称作变换幺半群或者复合幺半群。通常,变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 f: XX 的集合称作 X 上的全变换半群[3]或对称半群[4]。(我们其实可以定义两个半群,这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。[5]

把△EFA变换为△ATB的相似性位似 H 和以 S 为中心的旋转 R 的复合。例如,A 在旋转R下的U,可以写作R (A) = U。而 H(U) = B 表示映射 HU 变换到了 B。因此,H(R (A)) = (H ∘ R )(A) = B

如果变换是双射(也就可逆),则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群;可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凱萊定理从本质上表明,(在同构意义下)任何群都是某一置换群的子群。[6]

所有双射函数 f: XX(称作置換)的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群,有时称作复合群。

在(所有变换的)对称半群中,我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换(称作伪逆),因为对称子群是一个正则半群。[7]

函数幂[编辑]

如果 Y X,则 f: XY 有可能可以与自身复合;这有时候记作 f 2。即:

(ff)(x) = f(f(x)) = f2(x)
(fff)(x) = f(f(f(x))) = f3(x)
(ffff)(x) = f(f(f(f(x)))) = f4(x)

更一般地,对于 n ≥ 2自然数n函数可以归纳定义为 fn = ffn−1 = fn−1f. 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数

  • 习惯上,f0 定义为 f 定义域上的恒同映射,idX.
  • 如果 Y = X,而 f: XX 存在反函數 f−1,那么对于 n > 0函数幂 fn 定义为反函数的幂:fn = (f−1)n.

注意:f 在一个内取值(特别是对于实值或复值f),存在混淆的风险,因为 fn 也可以表示 fn 次乘积,比如 f2(x) = f(x) · f(x). 对于三角函数,通常会使用后者的含义,至少对于正指数是这样。例如,在三角学中,使用三角函数 sin2(x) = sin(x) · sin(x) 的时候,这个上标记号表示标准的指数运算。不过,对于负指数(特别是 −1),则通常指的是反函数,例如,tan−1 = arctan ≠ 1/tan.

在一些情况下,对于给定函数 f,方程 gg = f 只有一个解 g 的时候,该函数可以定义为 f 的函数平方根,记作 g = f1/2.

更一般地,当 gn = f 只有唯一解时(自然数 n > 0),fm/n可以定义为 gm.

在额外的限制下,这个想法还可以推广,使得迭代函数可以是一个连续的参数;在此情形下,这样的系统称作,由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形动力系统的研究中。

为避免混淆,有些数学家把 fn 次迭代写作 f °n.

其他记法[编辑]

许多数学家,特别是群论方面的数学家,省去复合符号,把 gf 写作 gf.[8]

在20世纪中叶,一些数学家认为用“gf”来表示“首先施加 f,然后施加 g”太令人困惑,于是决定改变记法。他们用“xf”来代表“f(x)”,用“(xf)g”来代表“g(f(x))”。[9] 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中,当 x行向量fg 表示矩阵,而复合是通过矩陣乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要,因为函数复合不一定是可交换的(比如矩阵乘法)。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。

使用后缀表示法的数学家可能会写“fg”,表示先施加 f 再施加 g,这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致,不过这就会让“fg”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 f ; g 来表示 [1] ,这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来,在Z表示法(Z notation)中 ⨾ 字符用于左关系复合。[10] 由于所有函数都是二元关系,在函数复合中也应该用[粗]分号(参见 关系复合条目了解此记法的详细内容)。

复合算子[编辑]

给定函数 g复合算子 Cg 定义为使得

的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

多元函数[编辑]

对于多元函数来说,部分复合是有可能的。当函数 f 的部分参数 xig 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中,记作 f |xi = g

g 是一个常数 b 时,复合退化为一个(部分)求值,其结果就会是限制或者辅因子。[11]

通常,多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数,如原始递归函数的定义。给定 f,一个 n 元函数,nm 元函数 g1, ..., gnfg1, ..., gn 的复合是 m 元函数

.

这有时称作 fg1, ..., gn广义复合[12] 在这个一般化的情形中,可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数,只保留一个参数函数,就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意,在这个一般化情形中,g1, ..., gn 可以看作是单个向量或元组值函数,这样理解的话,这就是复合函数的标准定义。[13]

某些基本集 X 上的一些有限性运算称作克隆,它们需要包含所有射影,并且在广义复合下封闭。请注意,克隆通常包含各种元数(arity)的运算。[12] 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广:如果元数 n的函数 f 是保持 g同态函数(g 的元数为 m),则可以说 fg 是可交换的,反之亦然。例如:[14]

.

一元运算总是与自己可交换,但二元(或者更多元)运算不一定如此。与自身可交换的二元(或更多元)运算称为medial或entropic[14]

推广[编辑]

复合可以推广到任意二元关系。若 RX × YSY × Z 是两个二元关系,则它们的复合 SR 是定义为 {(x, z) ∈ X × Z : yY. (x, y) ∈ R (y, z) ∈ S}. 考虑二元关系的一个特殊情形(函数关系),复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义,有一个类似凯莱定理(Cayley's theorem)的定理叫做Wagner-Preston定理。[15]

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴(prototypical category)。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质(和定义)启发。[16] 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广,函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 (f ∘ g)−1 = (g−1f−1) 中的反序复合,同样适用于使用逆关系的关系复合,因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴

排版[编辑]

复合算子 ∘  编码为U+2218RING OPERATOR ,HTML:∘。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中,写作\circ

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 有些作者使用 f ∘ g : XZ,定义为 (f ∘ g )(x) = g(f(x))
  2. ^ 例如,在范畴论中会使用严格情形的定义。在范畴论中,子集关系由包含映射明确地描述。

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3. 
  2. ^ Nancy Rodgers. Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. 2000: 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9. 
  3. ^ Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1. 
  4. ^ Pierre A. Grillet. Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. 1995: 2. ISBN 978-0-8247-9662-4. 
  5. ^ Pál Dömösi; Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic Theory of Automata Networks: A Introduction. SIAM. 2005: 8. ISBN 978-0-89871-569-9. 
  6. ^ Nathan Carter. Visual Group Theory. MAA. 9 April 2009: 95. ISBN 978-0-88385-757-1. 
  7. ^ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk. Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. 2008: 24. ISBN 978-1-84800-281-4. 
  8. ^ Oleg A. Ivanov. Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Soc. 1 January 2009: 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1. 
  9. ^ Jean Gallier. Discrete Mathematics. Springer. 2011: 118. ISBN 978-1-4419-8047-2. 
  10. ^ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
  11. ^ Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691. doi:10.1109/tc.1986.1676819. 
  12. ^ 12.0 12.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6. 
  13. ^ George Tourlakis. Theory of Computation. John Wiley & Sons. 2012: 100. ISBN 978-1-118-31533-0. 
  14. ^ 14.0 14.1 Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6. 
  15. ^ S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv
  16. ^ Peter Hilton; Yel-Chiang Wu. A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. 1989: 65. ISBN 978-0-471-50405-4. 

外部链接[编辑]