多值函数

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圖中的不是真正的函數,因為X集合中的3對應Y集合中的二個元素bc

多值函数(multivalued function,也稱為multifunction)為一數學名詞,是一種二元关系,其中每一個輸入都至少會對應一個輸出,而且有些會對應不止一個輸出。

嚴格來說,良好定義的函数在其定義域內的每個輸入都對應一個輸出,而且只對應一個輸出。因此多值函数本身用詞不當英语misnomer,因為只有單值函數才符合函數的定義。多值函數當當作為非单射函數的「反函數」。嚴格來說非单射函數沒有反函數(其「反函數」不滿足單值的定義),只存在逆關係英语inverse relation。多值函數即為非单射函數的逆關係。

例子[编辑]

  • 每個大於0的實數都有二個實數的平方根,例如4的平方根是{−2, +2}.,0的平方根是0。
  • 一般而言,許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根,只有0的n次方根為0。
  • 複對數函數是多值函數。為實數)的值是,其中為任意整數。 .
  • 反三角函數為週期性的多值函数,例如
因此,arctan(1)在本質上會對應許多數值:π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定義域在π/2 < x < π/2,此區域下tan x為單純遞增,則arctan(x)的值域會在π/2 < y < π/2。這種限定區域下的值稱為主值英语Principal value
  • 不定積分也可以視為是多值函数,函數f的不定積分是一個函數的集合,集合中的每一個函數微分後都是f,因此不定積分存在一積分常數,因為積分常數不論本身數值多少,微分後都是0。

所有的多值函数都是來自非單射的函數,因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊,因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有分支點英语branch point,例如n次方根以及對數函數中,0是分支點,而arctan函數中,虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式,將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中,這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  • C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
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  • H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online)
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  • D. Repovš and P.V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
  • E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, Topological methods for set-valued nonlinear analysis, World Scientific, Singapore, 2008
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