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多值函数

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圖中的不是真正的函數,因為X集合中的3對應Y集合中的二個元素bc

多值函数(multivalued function,也稱為multifunction)為一數學名詞,是一種二元关系。其中,定义域中的每一个元素都对应陪域中的至少一个元素。

此名词来源于复分析,例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许的元素对应多于一个中的元素;但复分析中,为了作区分,将原来定义的函数称为单值函数

有些多值函数拥有主分支,而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值(principal value)。

例子[编辑]

  • 每個大於0的實數都有二個實數的平方根,例如4的平方根是{−2, +2}.,0的平方根是0。
  • 一般而言,許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根,只有0的n次方根為0。
  • 複對數函數是多值函數。為實數)的值是,其中為任意整數。 .
  • 反三角函數為週期性的多值函数,例如
因此,arctan(1)在本質上會對應許多數值:π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定義域在π/2 < x < π/2,此區域下tan x為單純遞增,則arctan(x)的值域會在π/2 < y < π/2。這種限定區域下的值稱為主值英语Principal value
  • 不定積分也可以視為是多值函数,函數f的不定積分是一個函數的集合,集合中的每一個函數微分後都是f,因此不定積分存在一積分常數,因為積分常數不論本身數值多少,微分後都是0。

所有的多值函数都是來自非單射的函數,因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊,因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有分支點英语branch point,例如n次方根以及對數函數中,0是分支點,而arctan函數中,虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式,將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中,這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]