多值函数

图中的不是真正的函数，因为X集合中的3对应Y集合中的二个元素b及c

多值函数（英语：multivalued function, multifunction）为一数学名词，是一种二元关系。其中，定义域$X$中的每一个元素都对应陪域$Y$中的至少一个元素。

此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许$X$的元素对应多于一个$Y$中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。

有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（principal value）。

例子

• 每个大于0的实数都有二个实数的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
• 一般而言，许多不为0的复数都有二个平方根、三个立方根、n个n次方根，只有0的n次方根为0。
• 复对数函数是多值函数。$\log(a+bi)$（$a$和$b$为实数）的值是$\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$，其中$n$为任意整数。 .
• 反三角函数为周期性的多值函数，例如

$\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.$

因此，arctan(1)在本质上会对应许多数值：π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定义域在−π/2 < x < π/2，此区域下tan x为单纯递增，则arctan(x)的值域会在−π/2 < y < π/2。这种限定区域下的值称为主值。

• 不定积分也可以视为是多值函数，函数f的不定积分是一个函数的集合，集合中的每一个函数微分后都是f，因此不定积分存在一积分常数，因为积分常数不论本身数值多少，微分后都是0。

所有的多值函数都是来自非单射的函数，因为原始函数无法完全保存其输入的资讯，因此函数也就不可逆。

复变函数的多值函数会有分支点，例如n次方根以及对数函数中，0是分支点，而arctan函数中，虚数单位i和−i为分支点。利用分支点可以限定范围的方式，将这些函数重新定义为单值函数。若是在实函数的例子中，这个限制的区域一般会称为函数的主分支。

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参考资料

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