反三角函数

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数学中,反三角函数三角函数反函数

數學符號[编辑]

符号等常用于等。但是这种符号有时在之间易造成混淆。


在编程中,函数arcsin, arccos, arctan通常叫做asin, acos, atan。很多编程语言提供两自变量atan2函数,它计算给定yxy/x的反正切,但是值域为

主值[编辑]

下表列出基本的反三角函数。

名称 常用符号 定义 定义域 值域
反正弦
反余弦
反正切
反余切
反正割
反余割

(注意:某些數學教科書的作者將arcsec的值域定為因為當tan的定義域落在此區間時,tan的值域≧0,如果arcsec的值域仍定為,將會造成tan(arcsec(x)) = ± x2 − 1,如果希望tan(arcsec(x)) = x2 − 1,那就必須將arcsec的值域定為,基於類似的理由arccsc的值域定為

如果允许是复数,则的值域只适用它的实部。

反三角函数之间的关系[编辑]

补角:

负数参数:

倒数参数:

如果有一段正弦表:

注意只要在使用了复数的平方根的时候,我们选择正实部的平方根(或者正虚部,如果是负实数的平方根的话)。

半角公式,可得到:

三角函數與反三角函數的關係[编辑]

通過定義可知:

圖示
Trigonometric functions and inverse3.svg
Trigonometric functions and inverse.svg
Trigonometric functions and inverse2.svg
Trigonometric functions and inverse4.svg
Trigonometric functions and inverse6.svg
Trigonometric functions and inverse5.svg

一般解[编辑]

每个三角函数都周期于它的参数的实部上,在每个2π区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于2πk - π/2结束于2πk + π/2(这里的k是一个整数),在2πk + π/2到2πk + 3π/2上倒过来。余弦和正割的周期开始于2πk结束于2πk + π,在2πk + π到2πk + 2π上倒过来。正切的周期开始于2πk - π/2结束于2πk + π/2,接着(向前)在2πk + π/2到2πk + 3π/2上重复。余切的周期开始于2πk结束于2πk + π,接着(向前)在2πk + π到2πk + 2π上重复。

这个周期性反应在一般反函数上:

反三角函数的导数[编辑]

对于实数的反三角函數的导函数如下:

舉例說明,设,得到:

因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,其他導數公式同理可證[1]

表达为定积分[编辑]

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式:

x等于1时,在有极限的域上的积分是瑕积分,但仍是良好定义的。

无穷级数[编辑]

如同正弦和余弦函数,反三角函数可以使用无穷级数计算如下:

欧拉发现了反正切的更有效的级数:

(注意对x= 0在和中的项是空积1。)

反三角函数的不定积分[编辑]

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

舉例[编辑]

使用,設

換元

換元回x得到

加法公式和減法公式[编辑]

arcsin x + arcsin y[编辑]

arcsin x - arcsin y[编辑]

arccos x + arccos y[编辑]

arccos x - arccos y[编辑]

arctan x + arctan y[编辑]

arctan x - arctan y[编辑]

arccot x + arccot y[编辑]

arcsin x + arccos x[编辑]

arctan x + arccot x[编辑]

註釋與引用[编辑]

  1. ^ ,得到:
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,得到:
    ,得到:
    ,得到:
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,比較容易被忽略是產生的絕對值 的定義域是,其所產生的反函數皆為正,所以需要加上絕對值。
    ,得到:
    因為要使根號內部恆為正,所以在條件加上,比較容易被忽略是產生的絕對值 的定義域是,其所產生的反函數皆為負,所以需要加上絕對值。

参见[编辑]

外部链接[编辑]