本條目介紹的是
三角函數 中的一個概念，
餘函數 也可以指特定情況下微分方程的通解。
在數學 中，餘函數 （cofunction 或complementary function ） 是一個用來描述三角函數 間關係的術語。如果函數 f g f 餘角 代入函數 g f (A ) = g (B )A B 餘角 （即兩個角之和為直角 ）。[1] [2] [3] co- 」前綴，這樣的用法最早可以追朔到埃德蒙·岡特 [4] [5]
如果一個三角函數 f g
f
(
x
)
=
g
(
y
)
{\displaystyle f(x)=g(y)}
則x y 餘角 ：
x
=
π
2
−
y
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-y}
x
=
90
∘
−
y
{\displaystyle x=90^{\circ }-y}
對於非三角函數（如双曲函数 ），或者定義域 所代表的意義並非角 的度量，則不適用於以上定義。但有些餘函數的定義是參考於與其相關的三角函數，例如雙曲正弦 、雙曲餘弦 、古德曼函數 以及餘古德曼函數 是在定義中將對應的三角函數替換為餘函數來定義。
例如，正弦 （sine ，拉丁語 ：sinus ）和餘弦 （co sine拉丁語 ：cosinus [4] [5] sinus complementi [4] [5]
sin
(
π
2
−
A
)
=
cos
(
A
)
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}
[1] [3]
cos
(
π
2
−
A
)
=
sin
(
A
)
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}
[1] [3]
正割 （secant ，拉丁語 ：secans ）和餘割 （co secant拉丁語 ：cosinus 、secans complementi ）以及正切（tangent ，拉丁語 ：tangens ）和餘切（co tangent拉丁語 ：cotangens [4] [5] tangens complementi [4] [5]
sec
(
π
2
−
A
)
=
csc
(
A
)
{\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}
[1] [3]
csc
(
π
2
−
A
)
=
sec
(
A
)
{\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}
[1] [3]
tan
(
π
2
−
A
)
=
cot
(
A
)
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}
[1] [3]
cot
(
π
2
−
A
)
=
tan
(
A
)
{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}
[1] [3]
這些等式也稱為餘函數恆等式 [2] [3]
餘函數列表 [ 编辑 ] 其他互為餘函數的三角函數還有：
正矢 （versed sine，縮寫ver）和餘矢（coversed sine，cvs）餘的正矢（versed cosine，縮寫vcs）和餘的餘矢（coversed cosine，cvc）
半正矢（haversine，縮寫hav）和半餘矢（hacoversine，縮寫hcv）
餘的半正矢（havercosine，縮寫hvc）和餘的半餘矢（hacovercosine，縮寫hcc）
正弧 和餘弧 外正割 （exsecant，縮寫exs）和外餘割 （excosecant，縮寫exc）
正弦和餘弦
sin
(
π
2
−
A
)
=
cos
(
A
)
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}
[1] [3]
cos
(
π
2
−
A
)
=
sin
(
A
)
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}
[1] [3]
正割和餘割
sec
(
π
2
−
A
)
=
csc
(
A
)
{\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}
[1] [3]
csc
(
π
2
−
A
)
=
sec
(
A
)
{\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}
[1] [3]
正切和餘切
tan
(
π
2
−
A
)
=
cot
(
A
)
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}
[1] [3]
cot
(
π
2
−
A
)
=
tan
(
A
)
{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}
[1] [3]
正矢和餘矢
ver
(
π
2
−
A
)
=
cvs
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {ver} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvs} (A)}
[6]
cvs
(
π
2
−
A
)
=
ver
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {cvs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {ver} (A)}
餘的正矢和餘的餘矢
vcs
(
π
2
−
A
)
=
cvc
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {vcs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvc} (A)}
[7]
cvc
(
π
2
−
A
)
=
vcs
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {cvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {vcs} (A)}
半正矢和半餘矢
hav
(
π
2
−
A
)
=
hcv
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcv} (A)}
hcv
(
π
2
−
A
)
=
hav
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {hcv} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hav} (A)}
餘的半正矢和餘的半餘矢
hvc
(
π
2
−
A
)
=
hcc
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {hvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcc} (A)}
hcc
(
π
2
−
A
)
=
hvc
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {hcc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hvc} (A)}
外正割和外餘割
exs
(
π
2
−
A
)
=
exc
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {exs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exc} (A)}
exc
(
π
2
−
A
)
=
exs
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {exc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exs} (A)}
正函數與餘函數 [ 编辑 ] 餘函數不一定是代表兩函數間的關係，也可以是一種函數的分類。例如三角函數也可以根據性質區分成正函數與餘函數。例如正弦 、正切、正割可以稱為正函數，而餘弦、餘切、餘割則稱為餘函數。正函數代表的是對於該正角在單位圓上割圓八線 的各段長度；餘函數代表的是對於該餘角在單位圓上割圓八線的各段長度。
參考文獻 [ 编辑 ]
^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich. Chapter II. The Acute Angle [10] Functions of complementary angles. Trigonometry . Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company . January 1909: 11–12. ^ 2.0 2.1 Aufmann, Richard; Nation, Richard. Algebra and Trigonometry 8. Cengage Learning . 2014: 528 [2017-07-28 ] . ISBN 978-128596583-3 ^ 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 3.13 Bales, John W. 5.1 The Elementary Identities . Precalculus. 2012 [2001] [2017-07-30 ] . （原始内容 存档于2017-07-30）. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Gunter, Edmund . Canon triangulorum. 1620. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Roegel, Denis (编). A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620) (Research report). HAL. 2010-12-06 [2017-07-28 ] . inria-00543938. （原始内容存档 于2017-07-28）. ^ Weisstein, Eric Wolfgang . Coversine . MathWorld . Wolfram Research, Inc. [2015-11-06 ] . （原始内容存档 于2005-11-27）. ^ Weisstein, Eric Wolfgang . Covercosine . MathWorld . Wolfram Research, Inc. [2015-11-06 ] . （原始内容存档 于2014-03-28）.
本條目介紹的是三角函數中的一個概念，餘函數也可以指特定情況下微分方程的通解。
