单位圆

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
单位圆。变量t

数学中,单位圆是指半径单位长度的,通常为欧几里得平面直角坐标系圆心为(0,0)、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S1。多维空间中,单位圆可推广为单位球

如果单位圆上的点 (x, y)位于第一象限,那么xy斜边长度为1的直角三角形的两条边,根据勾股定理xy满足方程

x^2 + y^2 = 1 \,\!

由于对于所有的x来说x2 = (−x)2,并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上,因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。

单位圆与三角函数[编辑]

事实上,不仅仅是正弦与余弦,而且所有六个标准三角函数—正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)、余割(csc)以及不常用正矢(versin)与外正割(exsec)—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中,正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于π/2时才有意义。但是,在单位圆上,对于任意的实数角度,这些函数都有直观的意义。

角度 θ所有三角函数都可以在圆心为0的单位圆上表示出来。

设 (x, y)是单位圆上的一个点。设角 t的起始边为x轴的正方向,角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此:

\cos(t) = x \,\!
\sin(t) = y \,\!

另外,从x2 + y2 = 1可以得到

 \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数,对于任意的整数k恒等式

\cos t = \cos(2\pi k+t) \,\!
\sin t = \sin(2\pi k+t) \,\!
单位圆上已知準確座標的点

这些恒等式的依据是在角度t增加任意圈数或者减小任意圈数的时候xy坐标保持不变。一圈 = 2π 弧度

复数的圆群[编辑]

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示,a + bi表示为(a, b)。在这种表示下,单位圆是不断增加的,在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

参见[编辑]