勾股定理

直角邊的平方和等於斜邊的平方

在公元前500－200年，《周髀算經》的圖解

《测圆海镜》中十五个勾股形

勾股定理又称商高定理、畢達哥拉斯定理，简称“毕氏定理”，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。古埃及在公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541， 12709，13500）。在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。《周髀算經》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并而开方除之”。古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯，所以勾股定理又称畢達哥拉斯定理。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝（百牛大祭），因此又稱百牛定理。

有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。

定理

在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：

$a^2+b^2=c^2$

勾股定理是餘弦定理中的一個特例。勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

其他形式

如果c是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度，勾股定理可以寫成：

$a^2 + b^2 = c^2\,$

如果a和b知道，c可以這樣寫：

$c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,$

如果斜邊的長度c和其中一條邊（a或b）知道, 那另一邊的長度可以這樣計算：

$a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,$

或

$b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,$

勾股數组

勾股数组是滿足勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$的正整數組$(a,b,c)$，其中的$a,b,c$称为勾股数。例如$(3,4,5)$就是一組勾股數組。

任意一组勾股数$(a,b,c)$可以表示为如下形式：$a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2)$，其中$k, m,n\in \mathbb{N*},m>n$。

歷史

公元前18世纪记录各种勾股数组的巴比伦石板

這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

勾股数

勾股数出现得较早，例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541， 12709，13500）。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载。相传是在公元前11世纪商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；商高答周公问曰：“勾广三，股备四，径隅五”；三国时代的赵爽对《周髀算經》内的勾股定理作出了详细注释：“勾股个自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”。《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率。

金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系統的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

普遍定理的发现

巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，第五世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：

“

如果我们听听那些喜欢说古代历史的人，他们把这个定理归于毕达哥拉斯，并且说他杀了一头公牛来庆祝。对我来说，虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人，我更 叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明，而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。

”

普魯塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯。

在中国，秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数，定理首次载于书面是在汉朝的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中：

“

若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日

”

——周髀算经 卷上之二

因此有些人将这个定理称之为陈子定理。赵爽《勾股方圆图注》记载

“

勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦

”

在《九章算术》刘徽著中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率。

直至現時為止，有許多辯論關於勾股定理是否早已不只一次被發現。

证明

以動畫方式來論證畢氏定理

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来的勾股定理的书面证明最早见于几何原本第一册的第47个命题。在中国，三国时吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。最近，巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。

利用相似三角形的證法

相似三角形的證明

有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為

$BC=a, AC=b, \mbox{ and } AB=c, \!$

所以

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,$

可以寫成

$a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH.\,$

綜合這兩個方程式，我們得到

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2.\,\!$

換句話說:

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

歐幾里得的證法

《幾何原本》中的證明

在歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
• 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
• 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
• 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

证明辅助图2

其證明如下：

1. 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。
2. 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
3. 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。
4. 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。
5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。
6. ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。
7. 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。
8. 因為 A 與 K 和 L在同一直线上，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。
9. 因為C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。
10. 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。
11. 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。
12. 把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
13. 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
14. 由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = BC²。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

圖形重新排列證法

以面積減算法證明

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為$(a+b)^2$。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為$a^2+b^2$，右方餘下面積為$c^2$，兩者相等。證畢。

以重新排列法證明

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c為最長邊:

• 如果$a^2 + b^2 = c^2 \,$，則△ABC是直角三角形。
• 如果$a^2 + b^2 > c^2 \,$，則△ABC是銳角三角形(若無先前條件AB=c為最長邊,則該式的成立僅滿足∠C是銳角)。
• 如果$a^2 + b^2 < c^2 \,$，則△ABC是鈍角三角形。

(這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸)

逆定理的證明

勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。

同一法

構造$\triangle A'B'C'$，使$a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\operatorname{\omicron}$。

根據勾股定理，$c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c$，從而$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$（SSS）。

因此，$\angle C = 90^\operatorname{\omicron}$。

餘弦定理

根據餘弦定理，$\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$。由於$a^2 + b^2 = c^2 \,$，故$\cos C = 0 \,$，從而$\angle C = 90^\operatorname{\omicron}$。

相似三角形

在AB边上截取点D使$\angle DCB = \angle A$。

在$\triangle CDB \,$与$\triangle ACB\,$中，$\angle B=\angle B, \angle DCB=\angle A \Rightarrow \triangle CDB \sim \triangle ACB$。

從而，$\frac {BC}{BA} = \frac {BD}{BC} \Rightarrow BD= \frac {a^2}c$，以及$\frac {CD}{AC} = \frac {CB}{AB} \Rightarrow CD= \frac {ab}c$。

另一方面，$AD=AB-BD=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c$，故由$\frac {DC}{AD}=\frac {BC}{AC} = \frac {BD}{CD} = \frac ab$知，$\triangle ACD \sim \triangle CBD$。

因而，$\angle BDC = \angle CDA = 90^\operatorname{\omicron}$，所以$\angle ACB = \angle CDB = 90^\operatorname{\omicron}$。

非欧几何

勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的。因为勾股定理的成立涉及到了平行公理。

參見

• 直角三角形
• 勾股数
• 余弦定理
• 赵爽弦图

外部連結

• 勾股定理(MathWorld)（英文）
• 从勾股定理到费马大定理 —— From Pythagorean Theorem to Fermat's Last Theorem (by Guofang Xie)