珠算

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珠算,義為使用算珠來進行計算,一般特指用中式算盤來計算,對四則運算統整出了一套系統的計算規則,統稱珠算法則。其源於中國籌算,在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種算法,珠算為其一。不過,當時尚無現在的算盤,是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013年,聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄[1]

術語[编辑]

珠算已發展成一系統,亦衍生出許多相關術語,為便於說明,參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之:

  • 算盤術語
    • 上珠
    • 下珠
  • 運珠相關
  • 算術術語
    • 加算:即加法計算。
      • 被加數:
      • 加數:
      • 的 c
    • 減算:即減法計算
      • 被減數:
      • 減數:
      • 差: 的 c
    • 乘算:即乘法計算
      • 實、被乘數:
      • 法、乘數:
      • 積: 的 c
    • 除算:即除法計算
      • 實、被除數:
      • 法、除數:
      • 商: 的 c
      • 餘: 的 d

運珠[编辑]

有兩種方式[2]

  1. 雙手撥珠,以中國為主,另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
  2. 單手運珠,以台灣、日本、韓國為主,另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。
二五珠算盤

一般只用拇指食指中指拨珠(亦有极少数非常熟练的人五指全用),三个手指的基本分工是:

  • 拇指拨下珠向上靠梁。
  • 食指拨下珠向下离梁。
  • 中指拨上珠靠梁和离梁。
一四珠算盤

(或一五珠算盤):兩个手指的基本分工是:

  • 食指拨上珠向下靠梁。
  • 食指拨上珠向上离梁。
  • 拇指拨下珠向上靠梁。
  • 食指拨下珠向下离梁。
一五珠算盤

兩个手指的基本分工是:

  • 食指拨上珠向下靠梁。
  • 食指拨上珠向上离梁。應該是拇指
  • 拇指拨下珠向上靠梁。
  • 食指拨下珠向下离梁。


算法[编辑]

布数[编辑]

布数是指表現數字的算珠擺放方式。

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

加算[编辑]

方法為同位值相加,逢十進一,計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

(例)1937+284

置數

百位檔相加
十位檔相加
個位檔相加
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口訣

可輔助學習,熟練後亦可不用。

加数 不进位加 进位加
直加 满五加 进十加 破五进十加
一上一 一下五去四 一去九进一  
二上二 二下五去三 二去八进一  
三上三 三下五去二 三去七进一  
四上四 四下五去一 四去六进一  
五上五   五去五进一  
六上六   六去四进一 六上一去五进一
七上七   七去三进一 七上二去五进一
八上八   八去二进一 八上三去五进一
九上九   九去一进一 九上四去五进一

以 +3 為例:

  • 「三上三」是指「(若下珠夠加)直接上撥三顆」(=+3)。
  • 「三下五去二」是指「(若下珠不夠加,且沒有上珠),則撥下一顆上珠,去掉兩夥下珠」(=+5-2)。
  • 「三去七進一」是指「(若下珠不夠加,且有上珠),則去掉七,再高一位進一」(=+10-7)。

其中,「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

減算[编辑]

方法為同位值相減,不夠借位,計算時由高位檔向低位檔依次相減。

(例)2756-957

置數

百位檔相減
十位檔相減
個位檔相減
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口诀

可輔助學習,熟練後亦可不用。

减数 不退位减 退位减
直减 破五减 退位减 退十补五减
一去一 一上四去五 一退一还九  
二去二 二上三去五 二退一还八  
三去三 三上二去五 三退一还七  
四去四 四上一去五 四退一还六  
五去五   五退一还五  
六去六   六退一还四 六退一还五去一
七去七   七退一还三 七退一还五去二
八去八   八退一还二 八退一还五去三
九去九   九退一还一 九退一还五去四

以 -3 為例:

「三去三」是指「(若下珠夠減)直接撥去三顆」(=-3)。 「三上二去五」是指「(若下珠不夠減,且有上珠),則撥去上珠,並加上二顆下珠」(=-5+2)。 「三退一還七」是指「(若下珠不夠減,且沒有上珠),則更高一位減一,並加上七」(=-10+7)。

負數

遇到小數減大數時,可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑,也不靠框。其觀念同計算機中的二補數

乘算[编辑]

基本原則就是,將乘數分解為每分數,分別乘上被乘數後相加。如:要計算 32×97

更進一步分解,

計算時,不用考慮位值,則只需計算一位×一位,如:30×90 ,只需計算 3×9 ,再加至百位即可。如此,可以先將每個一位×一位的結果先計算出來,此即為乘法口誤——九九歌

而使用珠算計算時,因為數字都在盤面上,所以要考慮是否要將實(被乘數)、法(乘數)放置盤面上,放的位置(因計算結果會愈來愈長,可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響)、計算順序、如何定位等。而根據計算方法,主要有兩大類:

  • 看頭乘法被乘數、乘數放置盤面上
    • 看頭乘法,又稱見乘法乘法速算法
  • 破頭乘法被乘數、乘數不放置盤面上
    • 破頭乘法,又稱頭乘法
    • 破頭乘法別法,又稱新頭乘法,或稱隔位乘法

此外,另有一種技巧 湊倍乘法[3],古稱金蟬脫殻,又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算,從而不需要九九乘法。

其基本想法為:「因為將每個乘數分解成多個一位數,最多只有 9 種可能(0 不用計算)」,而這 9 種可能,都可以改為「×1×2×5的某種組合」如:被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1×2×5」這三種運算是容易心算的。

看頭乘法
破頭乘法
新頭乘法

(例)32×97

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32 算「2」字 2×90 +2×7
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算「3」字 +30×90 +30×7 =3104
湊倍乘法

除算[编辑]

方法跟長除法類似,即逐位(由高位向低位)來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商(或試商)和減積

計算方法有:商除法、歸除法、湊倍除法。

商除法[编辑]

約率為例。為簡單起見,先以兩個算盤(一個記錄商,一個記錄餘)說明之。

(例)

  • 第一位
置數

估商
估為
減積
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Soroban 2 c.svg Soroban 2.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
Soroban 3.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
Soroban 2 c.svg Soroban 2.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
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()

()

()

()

()

()
  • 第二位


估商
估為
減積
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Soroban 0 c.svg Soroban 1.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
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()

()

()

()

()

()
  • 第三位


估商
估為
減積
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()

()

()

()

()

()

得到


而實際在計算時,會使用一個算盤同時放置商數和餘數,就是分區放。要如何有效利用有限的檔位,又不影響計算,其規律就是夠除,隔位置商;不夠除,挨位置商

密率為例,說明完整的商除法。


為例

  • 第一位
置數

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
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"
"
"
  • 第二位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
Soroban 3.svg Soroban 0 c.svg Soroban 0.svg Soroban 1.svg Soroban 6 cc.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 0 c.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
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"
"
"
  • 第三位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
Soroban 3.svg Soroban 1 c.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 4 cc.svg Soroban 7.svg Soroban 0.svg Soroban 0 c.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
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"
"
"
  • 第四位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
Soroban 3.svg Soroban 1 c.svg Soroban 4.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg Soroban 1.svg Soroban 8.svg Soroban 0 c.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
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Soroban 3.svg Soroban 1 c.svg Soroban 4.svg Soroban 1.svg Soroban 0 cc.svg Soroban 0.svg Soroban 6.svg Soroban 7 c.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
"
"
"
  • 第五位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
Soroban 3.svg Soroban 1 c.svg Soroban 4.svg Soroban 1.svg Soroban 0 cc.svg Soroban 0.svg Soroban 6.svg Soroban 7 c.svg Soroban 0.svg Soroban 0.svg Soroban 0 cc.svg
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"
"
"


  • 第六位。注意,這位是不夠除,挨位置商
前次結果

估商
估為 不夠除,挨位置商
減積
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"
"
"
  • 第七位。
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
Soroban 3.svg Soroban 1 c.svg Soroban 4.svg Soroban 1.svg Soroban 5 cc.svg Soroban 9.svg Soroban 0.svg Soroban 0 c.svg Soroban 3.svg Soroban 3.svg Soroban 0 cc.svg
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"
"
"

修正商

計算過程中,若發現所估的商過大,則要退商;若估商太小,則要補商

歸除法[编辑]

其基本想法是,將一些可能的除算先計算出結果,並將商與除數化作口訣,來加速計算除法。

除數為一位的稱為單歸法,除數為多位的,則為歸除法

九歸訣[编辑]

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》:「 一歸如一進、見一進成十;
二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十;
三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十;
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十;
五歸添一倍、逢五進成十;
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十;
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十;
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十;
九歸隨身下、逢九進成十

整個歌訣的作用為,「羅列所有被除數及除數的首數的可能,得出商數和餘數」。
三一三十一為例,第一個數字為三,是除數的首數為三,第二個數字為一,是被除數首數為一,數字雖為 1,但計算的是 。 而三十一意指商為 3 ,餘為 1。同樣的,三二六十二是指逢三進成十是指
有些語句是用下加幾來表示,是指商數不變(與被除數首數相同),餘數則為那個幾。以七二下加六為例,五歸添一倍是指「用 5 去除一個數,相當於此數加倍」(如:

其中,部分口訣,也成了成語。如二一添作五意味兩者平分三一三十一意味三者平分

其他版本

也有幾種不同的版本,如簡化版:「
一歸如一進,見一進成十;
二一添作五,逢二進成十;
三一三十一,三二六十二,逢三進成十;
四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四進成十;
五歸添一倍,逢五進成十;
六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六進成十;
七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六八十四,逢七進成十;
八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八進成十;
九歸隨身下,逢九進成十。

或者,改為更易理解的語句,如將「三一三十一」改為「三一三一」,「逢三進成十」改為「逢三進一」。如:「
一歸:逢一進一,逢二進二,逢三進三,逢四進四,逢五進五,逢六進六,逢七進七,逢八進八,逢九進九。
二歸:逢二進一,逢四進二,逢六進三,逢八進四,二一添作五。
三歸:逢三進一,逢六進二,逢九進三,三一三餘一,三二六餘二。
四歸:逢四進一,逢八進二,四二添作五,四一二餘二,四三七餘二。
五歸:逢五進一,五一倍作二,五二倍作四,五三倍作六,五四倍作八。
六歸:逢六進一,逢十二進二,六三添作五,六一下加四,六二三餘二,六四六餘四,六五八餘二。
七歸:逢七進一,逢十四進二,七一下加三,七二下加六,七三四餘二,七四五餘五,七五七餘一,七六八餘四。
八歸:逢八進一,八四添作五,八一下加二,八二下加四,八三下加六,八五六餘二,八六七餘四,八七八餘六。
九歸:逢九進一,九一下加一,九二下加二,九三下加三,九四下加四,九五下加五,九六下加六,九七下加七,九八下加八。

單歸法(除數為一位)[编辑]

約率為例。

(例)

七歸
置數 七二下加六

商設為

下一檔

逢七進一

本檔

七一下加三

商設為

下一檔

七三四餘二

商設為

下一檔

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" " " " "

歸除法(除數為多位)[编辑]

跟單歸法類似,也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

為例,可以先用 300 來估商,因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積(如「三一三餘一」中,餘一的部分已加入下一檔)。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念:除數的首數稱為,除數的首數以外的數稱為。除數為 321 的話,稱作3歸21除,意味著用 3歸求商及其減積,再以 21 來完成乘下的減積

減積後,有可能發現的估商需要調整。若過小,需要增商,這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」;若過大,則需退商,則有退商口訣

  • 一歸:無除起一下還一
  • 二歸:無除起一下還二
  • 三歸:無除起一下還三
  • 四歸:無除起一下還四
  • 五歸:無除起一下還五
  • 六歸:無除起一下還六
  • 七歸:無除起一下還七
  • 八歸:無除起一下還八
  • 九歸:無除起一下還九

這口訣有明顯規律:「無除起(也有作「退」)一下還 n」,無需特別記憶。


另外,也有可能發現在某些情況(即除數、被除數差不多大,卻又不夠除時)下,無法估商,則使用撞歸口訣

  • 一歸:見一無除撞九一
  • 二歸:見二無除撞九二
  • 三歸:見三無除撞九三
  • 四歸:見四無除撞九四
  • 五歸:見五無除撞九五
  • 六歸:見六無除撞九六
  • 七歸:見七無除撞九七
  • 八歸:見八無除撞九八
  • 九歸:見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律:「見 n 無除撞(也有作「作」)九 n」,無需特別記憶。它的意思是,在「除數、被除數的首數同為 n,卻又不夠除,直接估商為 9,下一檔要 +n」時。當首數相同,卻又無法進 1 (代表 10),則估商就從 9 開始。減積後,需要在下一檔 +n 。


密率為例,因為除數為 ,故稱之為「一歸十三除」,相關口訣如下:

  • 九歸口訣:逢一進一,逢二進二,逢三進三,逢四進四,逢五進五,逢六進六,逢七進七,逢八進八,逢九進九。
  • 退商口訣:無除起一下還一。
  • 撞歸口訣:見一無除撞九一。

(例)

  • 第一位
一歸十三除
置數 逢三進三

商為

以十三除減積

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" " "
  • 第二位
一歸十三除
前次結果 逢一進一

商為

以十三除減積

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" " "
  • 第三位
一歸十三除
前次結果 逢四進四

商為

以十三除減積

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  • 第四位
一歸十三除
前次結果 逢一進一

商為

以十三除減積

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  • 第五位
一歸十三除
前次結果 逢六進六

商為

以十三除減積

加回減積 退商

無除起一下還一 商,下一檔

以十三除減積

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  • 第六位
一歸十三除
前次結果 見一無除撞九一

商為 ,下一檔

以十三除減積

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  • 第七位
一歸十三除
前次結果 逢三進三

商為

以十三除減積

加回減積 退商

無除起一下還一

,下一檔

以十三除減積

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湊倍除法[编辑]

或稱累減除法大扒皮,首見於《九章詳註比類算法大全》,是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

開平方[编辑]

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅

驗算[编辑]

還原驗算法

一、交換律

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:加數+被加數=和數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:被減數-差數=減數
   乘法算式:被乘數*乘數=積
   驗算公式:乘數*被乘數=積

二、逆運算

   加法算式:被加數+加數=和數
   驗算公式:和數-加數=被加數  或  和數-被加數=加數
   減法算式:被減數-減數=差數
   驗算公式:差數+減數=被減數
   乘法算式:被乘數*乘數=積
   驗算公式:積/被乘數=乘數
   除法算式:被除數/除數=商(及餘數)
   驗算公式:(除數*商)+餘數=被除數

三、尾錯復尾

   只再計算最後幾位數一次
九餘數法

只能驗加法,減法,乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579

範例二、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088

範例三、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288

範例四、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
         
九除法
十一除法
二除法

珠算競技[编辑]

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類,心算競技是運用珠算式心算技巧。

参考文献[编辑]

  1. ^ 中国珠算入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”座谈会在京举办. [2020-03-24]. (原始内容存档于2020-12-22). 
  2. ^ 廖正輝. 單手運珠與雙手撥珠的差異. 珠算全球資訊網. [2021-10-21]. (原始内容存档于2021-10-21). 
  3. ^ (算盘)珠算10:乘法2——凑倍乘法. 哗哩哗哩. [2021-10-21]. (原始内容存档于2021-10-21). 

外部链接[编辑]

參見[编辑]