緝古算經

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清代四库全书 缉古算经

缉古算经》,原名《缉古算术》,初唐数学家王孝通著于武德九年〔626年〕前。后被列入算经十书,改名为《缉古算经》。[1]

《缉古算经》一书在中国数学史上有重要影响,王孝通在书中将几何问题代数化,在世界上首次系统地创立三次多项式方程,对代数学的发展,有重要意义。王孝通在此书中建立 25个三次方程,其中自第二问至第十八问中的23个三次方程有如下形式:

剩下第十九问、二十问各有一个双二次方程:

内容[编辑]

《缉古算经》全书共二十问,书首为《上緝古算术表》。各问题的形式大致相同,每问以“假令”开头,以“问:……各几何?”或“问:……个多少?”结尾;随后是答案:“答曰……”;最后一段是“术曰”,详细叙述建立方程的理论依据和具体程序。每题都有答案,但关于解题方法,王孝通则言简意骇。

第一问[编辑]

“假今天正十一月朔夜半,日在鬥十度七百分度之四百八十。以章歲為母,朔月行定分九千,朔日定小余一萬,日法二萬,章歲七百,亦名行分法。今不取加時日度。問:天正朔夜半之時月在何處?”。这是一道天文题,求半夜时月亮的赤道经度,王孝通用算术解题。

第二问[编辑]

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假令太史造仰觀臺,上廣袤少,下廣袤多。上下廣差二丈,上下袤差四丈,上廣袤差三丈,高多上廣一十一丈,甲縣差一千四百一十八人,乙縣差三千二百二十二人,夏程人功常積七十五尺,限五日役臺畢。羨道從臺南面起,上廣多下廣一丈二尺,少袤一百四尺,高多袤四丈。甲縣一十三鄉,乙縣四十三鄉,每鄉別均賦常積六千三百尺,限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺,二縣鄉人共造羨道,皆從先給甲縣,以次與乙縣。臺自下基給高,道自初登給袤。問:臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何?”。

对于这个建造观象台和台道的廣度、高度、深度的计算,王孝通列出三个

形式的三次方程式,和一个形式的三次方程式 。

第三问[编辑]

“假令築堤,西頭上、下廣差六丈八尺二寸,東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺,上廣多東頭高四尺九寸,正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人,乙縣一萬六千六百七十七人,丙縣一萬九千四百四十八人,丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九鬥二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八鬥。古人負土二鬥四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水寬一十二步,上山三當四,下山六當五,水行一當二,平道踟躕十加一,載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造,一日役華。今從東頭與甲,其次與乙、丙、丁。問:給斜、正袤與高,及下廣,並每人一日自穿、運、築程功,及堤上、下高、廣各幾何?

王孝通解此题,建立了一个二次方程,两个三次方程:

第一个三次方程:


第二个三次方程:

王孝通求得其解:31

第四问[编辑]

“假令築龍尾堤,其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多,下廣少,堤頭上下廣差六尺,下廣少高一丈二尺,少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人,乙縣二千三百七十八人,丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分,一日役畢,三縣共築。今從堤尾與甲縣,以次與乙、丙。問:龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。”

王孝通 两个三次方程。

  • ;解之得 x=18尺;
  • 解之得 x=33尺;

第五问[编辑]

“假令穿河,袤一裏二百七十六步,下廣六步一尺二寸;北頭深一丈八尺六寸,上廣十二步二尺四寸;南頭深二百四十一尺八寸;上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘,北頭高二百二十三尺二寸,南頭無高,下廣四百六尺七寸五厘,袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人,乙郡六萬八千七十六人,丙郡五萬九千九百八十五人,丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築,各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役,河漘俱了。四郡分共造漘,其河自北頭先給甲郡,以次與乙,合均賦積尺。問:逐郡各給斜、正袤,上廣及深,並漘上廣各多少?”

解二次方程,三次方程个一。

三次方程: 得 方仓上底边 x=3尺,下底边=9尺,高=12尺。

第六问[编辑]

“假令四郡輸粟,斛法二尺五寸,一人作功為均。自上給甲,以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六鬥,乙郡輸粟三萬四千九百五石六鬥,丙郡輸粟,二萬六千二百七十石四鬥,丁郡輸粟一萬四千七十八石四鬥。四郡共穿窖,上袤多於上廣一丈,少於下袤三丈,多於深六丈,少於下廣一丈。各計粟多少,均出丁夫。自穿、負、築,冬程人功常積一十二尺,一日役。問:窖上下廣、袤、深,郡別出人及窖深、廣各多少?”

解两个三次方程。

第七问[编辑]

“假令亭倉上小下大,上下方差六尺,高多上方九尺,容粟一百八十七石二鬥。今已運出五十石四斗。問:倉上下方、高及余粟深、上方各多少?”

求谷仓上边长,王孝通所述方法,相当于解一个三次方程[2]


为求余粟深度,王孝通的办法是建立又一个三次方程:

第八问[编辑]

“假令芻甍上袤三丈,下袤九丈,廣六丈,高一十二丈。有甲縣六百三十二人,乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺,限八日役。自穿築,二縣共造。今甲縣先到。問:自下給高、廣、袤、各多少?”是关于建筑观象台、河堤、粮窖等工程中的土方问题。

解一个三次方程:

得 乙县工程 高 x=72尺; 甲县工程高=120-72=48尺、上广=36尺 、袤=66尺。

第九问[编辑]

“假令圓囤上小下大,斛法二尺五寸,以率徑一周三。上下周差一丈二尺,高多上周一丈八尺,容粟七百五斛六鬥。今已運出二百六十六石四鬥。問:殘粟去口、上下周、高各多少?”

解两个三次方程。

第十问[编辑]

“假令有粟二萬三千一百二十斛七鬥三升,欲作方倉一,圓窖一,盛各滿中而粟適盡。令高、深等,使方面少於圓徑九寸,多於高二丈九尺八寸,率徑七,周二十二。問:方、徑、深多少?”

解一个三次方程。

第十一问[编辑]

“假令有粟一萬六千三百四十八石八鬥,欲作方倉四、圓窖三,令高、深等,方面少於圓徑一丈,多於高五尺,斛法二尺五寸,率徑七,周二十二。問:方、高、徑多少?”

解一个三次方程。

第十二问[编辑]

“假令有粟三千七十二石,欲作方倉一、圓窖一,令徑與方等,方於窖深二尺,少於倉高三尺,盛各滿中而粟適盡(圓率、斛法並與前同)。問:方、徑、高、深各多少?”

解一个三次方程。

第十三问[编辑]

“假令有粟五千一百四十石,欲作方窖、圓窖各一,令口小底大,方面於圓徑等,兩深亦同,其深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各滿中而粟適盡(圓率、斛法並與前同)。問:方、徑、深各多少?”

解一个三次方程。

第十四问[编辑]

“假令有粟二萬六千三百四十二石四鬥,欲作方窖六、圓窖四,令口小底大,方面與圓徑等,其深亦同,令深少於下方七尺,多於上方一丈四尺,盛各滿中而粟適盡(圓率、斛法並與前同)。問上下方、深數各多少?”

解一个三次方程。

第十五问[编辑]

“假令有句股相乘冪七百六十五分之一,弦多於句三十六十分之九。問:三事各多少?”

解一个三次方程: [3]

第十六问[编辑]

“假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三,句少於弦五十四五分之二。問:股多少?”

解一个三次方程。


第十七问[编辑]

“假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一,弦多股一、十分之一。問:股多少?”

解一个三次方程。“答曰:九十二五分之二。”

“術曰:冪自乘,倍多而一,為立冪。又多再自乘,半之,減立冪,余為實。又多數自乘,倍之,為方法。又置多數,五之,二而一,為廉法,從。開立方除之,即股(句弦相乘冪自乘,即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一,得一股與半差為方,令多再自乘半之為隅,橫虛二立廉……倍之為從隅……多為上廣即二多……法故五之二而一)。”

王孝通所述,相当于建立一个三次方程[4]


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第十八问[编辑]

“假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三,句少於弦五十四五分之二。問:股多少?”

解一个三次方程。


第十九问[编辑]

“假令有股弦相乘冪七百二十六,句七、十分之七。問:股多少?”

解一个双二次方程。


第二十问[编辑]

“假令有股十六二分之一,句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問:句多少?”

解一个双二次方程:

版本[编辑]

緝古算經》在唐代就有抄本,宋元丰七年(1084年)有秘书监趙彥若等校定刊本,但到明代,刊本几乎遗失,仅存章丘李开先所藏一部南宋刊本。清代毛晋获得《緝古算經》,影抄传世。《緝古算經》影抄本后归常熟毛扆汲古阁收藏;清乾隆年间孔继涵得毛扆汲古阁所藏宋元丰七年《緝古算經》影抄本和其他算书六种,连同戴东原从永乐大典中编辑出的《海岛算经》等书合为十部,一同刻印刊行;孔继涵所刻《緝古算經》,世称为微波谢本。同时《四库全书》又收入吏部侍郎王杰所藏《緝古算經》的毛晋影抄本。微波谢本后佚,影抄本现存北京故宫博物院

清代中期,研究《緝古算經》之风盛行,先后有李潢《缉古算经考注》二卷,张敦仁《缉古算经细草》一卷,陈杰《缉古算经细草》一卷,《缉古算经注》二卷,《缉古算经音义》一卷,及按微波谢本抄录的《缉古算经经文》一卷;揭廷锵《缉古算经考注图草》一卷。

1963年中华书局出版钱宝琮校点多《算经十书》,其中包括《缉古算经》[5]

1998你 郭书春 校点 《缉古算经》 《算经十书》 卷2 辽宁教育出版社。

参考文献[编辑]

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第四卷 第二章 王孝通 《缉古算经》 199页
  2. ^ Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan, p55 1912
  3. ^ Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan p54, 1913. Chelsea Publishing Company, New York
  4. ^ Yoshio Mikami The Development of Mathematics in China and Japan, p55, 1912
  5. ^ 钱宝琮校点 《缉古算经》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷 4 371-400
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