三次方程

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三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程一元三次方程一般形式為

其中, , ()是屬於一個的數字,通常這個域為RC

本條目只解釋一元三次方程,而且簡稱之為三次方程。

历史[编辑]

中國唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。

在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如的方程。事实上,如果我们允许, 是负数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道负数。

卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是複数的发现者。

三次方程解法[编辑]

求根公式法[编辑]

红色字体部分为判别式

时,方程有一个实根和两个共轭複根;

时,方程有三个实根:当

时,方程有一个三重实根;

时,方程的三个实根中有两个相等;

时,方程有三个不等的实根。

三角函数解[编辑]

,其中

若令,则

卡尔丹诺法[编辑]

為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根,然後把方程除以,就得到一個二次方程,而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域,所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。

解方程步驟:

  • 把原來方程除以首項係數,得到:
,其中
  • 代換未知項,以消去二次項。當展開,會得到這項,正好抵消掉出現於的項。故得:
,其中是域中的數字。
  • 。前一方程化為
展開:
重組:
分解:
因為多了一個未知項(代替了),所以可加入一個條件,就是:
,由此導出
  • 。我們有因為。所以是輔助方程的根,可代一般二次方程公式得解。

接下來,的立方根,適合,最後得出

在域裡,若是立方根,其它的立方根就是,當然還有,其中是單位的立方根。

因為乘積固定,所以可能的。因此三次方程的其它根是

判别式[编辑]

最先嘗試解的三次方程是實係數(而且是整數)。因為實數域並非代數封閉,方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在裡,就是的代數閉包。其中差異出現於的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式

  • ,方程有一个实根和两个共轭複根;
  • ,方程有三个实根:当时,方程有一个三重实根;当时,方程的三个实根中有两个相等;
  • ,方程有三个不等的实根: 其中 (注意,由於此公式應對於的形式,因此這裡的實際上是前段的,應用時務必注意取負號即)。

注意到实系数三次方程至少有一實根存在,這是因為非常數多項式極限無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因为多項式是連續函數,所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子[编辑]

我們依照上述步驟進行:

  • (全式除以
  • ,代換:,再展開
  • 。設的根。

该方程的另外两个根:

第二个例子[编辑]

这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。

方程是

从函数算出判别式的值,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做,做第三步:

的根。这方程的判别式已算出是负数,所以没有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。

我们解出。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设

等价于:
(实部)
(虚部)
(模)

得到,也就是,而是其共轭:

归结得,可以立时验证出来。

其它根是,其中

是负,共轭,故此也是(要适当选取立方根,记得);所以我们可确保是实数,还有

极值[编辑]

驻点的公式[编辑]


将其微分,可得

极值[编辑]

,可得中的极值极大值极小值满足:



代入,可得的极值

拐点[编辑]


,可得

驻点的类型[编辑]

由函数取极值的充分条件可知:
极大值点
极小值点
拐点

可知:
的驻点为极大值点;
的驻点为极小值点;
的驻点为拐点。

參見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。

外部链接[编辑]