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二次函数

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f(x) = x^2 - x - 2\,\!

数学中,二次函数quadratic function)表示形为f(x)=ax^2+bx+c \,\!a \ne 0 \,\!,且a、b、c是常数)的多项式函数,其中,x为自变量[註 1],a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线[1]

二次函数表达式ax^2+bx+c的定义是一个二次多项式,因为x的最高次数是2。

如果令二次函数的值等于零,则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的或函数的零点。

历史[编辑]

大约在公元前480年,古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。[註 2] 11世纪阿拉伯的花拉子米 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲[註 3]

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二次方程ax^2+bx+c=0\,\!a \ne 0 \,\!,b^2-4ac\geqslant0且a,b,c为常数)的两个根为:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

解方程后,我们会得到两个根:x1和x2。则点(x1,0)和(x2,0)就是这个二次函数与X轴的交点。特殊的:

  • \Delta = b^2-4ac \,為一元二次方程式的判別式,又記作D。
  • 如果\Delta > 0\,\!,则方程有两个不相等的根,也即与X轴有两个不重合的交点,因为\sqrt{\Delta}是正数。
  • 如果\Delta = 0\,\!,则方程有两个相等的根,也即与X轴有一个切点,因为\sqrt{\Delta}是零。
  • 如果\Delta < 0\,\!,则方程没有實數根,也即与X轴没有交点,因为\sqrt{\Delta}是二共軛虛根。

 r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ,我们可以把 a x^2 + b x + c \,\!分解为 a(x - r_1)(x - r_2)\,\!

二次函数的形式[编辑]

二次函数可以表示成以下三种形式:

  • f(x) = a x^2 + b x + c \,\!称为「一般形式」或「多项式形式」;
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!称为「因子形式」或「交点式」,其中 r_1  r_2 是二次方程的两个根,(r_1,0),(r_2,0)抛物线x轴的两个交点;
  • f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!称为「标准形式」或「顶点形式」,(h,k)即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根 r_1  r_2 ,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

  • h代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為h
  • k展開後比較後可得k=-a(\frac{|r_1-r_2|}{2})^2

不通過r_1r_2kh公式:

  • h = - \frac{b}{2a}
  • k = \frac{4ac-b^2}{4a}

而在三種形式中皆出現的a為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖形開口的大小與方向

图像[编辑]

f(x) = ax^2 ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!
  • 系数a控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度,a越大,函数就增长得越快。
  • 系数ba控制了抛物线的对称轴(以及顶点的x坐标)。
  • 系数b控制了抛物线穿过y轴时的倾斜度(导数)。
  • 系数c控制了抛物线的高度,它是抛物线与y轴的交点。
函数 图像 函数变化 对称轴 开口方向 最大(小)值
y=ax^2 a>0 Function ax^2.jpg x>0时,yx的增大而增大;
x<0时,yx的减小而增大
y
x=0
向上 0
y=ax^2 a<0 x>0时,yx的减小而减小;
x<0时,yx的增大而减小
y
x=0
向下 0
y=ax^2+c a>0 x>0时,yx的增大而增大;
x<0时,yx的减小而增大
y
x=0
向上 c
y=ax^2+c a<0 x>0时,yx的增大而减小;
x<0时,yx的减小而减小
y
x=0
向下 c
y=ax^2+bx+c a>0 x>-\frac{b}{2a}时,yx的增大而增大;
x<-\frac{b}{2a}时,yx的减小而增大
x=-\frac{b}{2a} 向上 -\frac{\Delta}{4 a}
y=ax^2+bx+c a<0 x>-\frac{b}{2a}时,yx的增大而减小;
x<-\frac{b}{2a}时,yx的减小而减小
x=-\frac{b}{2a} 向下 -\frac{\Delta}{4 a}

x截距[编辑]

当函数与x轴有两个交点时,设这两个交点分别为A(x_1,0),B(x_2,0),由根与系数的关系得[註 4](1)x_1+x_2=-\frac{b}{a},(2)x_1x_2=\frac{c}{a}

AB=|x_2-x_1|
=|\sqrt{(x_2-x_1)^2}|
=|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}|
=|\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-\frac{4c}{a}}|
=|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}|
=|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}|
=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}[2]

顶点[编辑]

抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为驻点。如果二次函数是标准形式,则顶点为(h, k)\,\!。用配方法,可以把一般形式f(x) = a x^2 + b x + c \,\!化为:

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a} ,[3][4]

因此在一般形式中,抛物线的顶点是:

 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)

如果二次函数是因子形式f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!,则两个根的平均数

\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!

就是顶点的x坐标,因此顶点位于

 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!

a < 0 \,\!时,顶点也是最大值,a > 0 \,\!时,则是最小值。

经过顶点的竖直线

 x=h=-\frac{b}{2a}

又称为抛物线的对称轴。

  • 最大值和最小值
函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数f(x) = ax^2 + bx + c \,\!,寻找它的極值时,我们必须先求出它的导数
f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b \,\!
然后,求出f'(x)\,\!的根:
2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}
因此,-\frac{b} {2a}f(x)\,\!x\,\!值。现在,为了求出y\,\!,我们把x = -\frac{b} {2a}代入f(x)\,\!
y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}
所以,最大值或最小值的坐标为:
 \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)

二次函数的平方根[编辑]

二次函数的平方根的图像要么是椭圆,要么是双曲线。如果a>0\,\!,则方程 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 y_p = a x^2 + b x + c \,\!的最小值决定。如果最小值是负数,则双曲线的轴是水平的。如果是正数,则双曲线的轴是竖直的。如果a<0\,\!,则方程 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 的图像要么是一个椭圆,要么什么也没有。如果对应的抛物线 y_p = a x^2 + b x + c \,\!的最大值是正数,则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数,则描述了一个空集

二元二次函数[编辑]

二元二次函数是以下形式的二次多项式:

 f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!

这个函数描述了一个二次曲面。把f(x,y)\,\!设为零,则描述了曲面与平面z=0\,\!的交线,它是一条圆锥曲线

最小值/最大值[编辑]

如果 4AB-E^2 <0 \,,则函数没有最大值或最小值,其图像是双曲抛物面

如果 4AB-E^2 >0 \,,则当A>0时函数具有最小值,当A<0具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点(x_m, y_m) \,取得,其中:

x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}

如果 4AB- E^2 =0 \, DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,,则函数没有最大值或最小值,其图像是抛物柱面。

如果 4AB- E^2 =0 \, DE-2CB=2AD-CE =0 \,,则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当A>0时取得最大值,A<0时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

註釋[编辑]

  1. ^ 注:自变量x的取值范围为任何实数
  2. ^ 参见婆罗摩笈多 代数章节
  3. ^ 参见花拉子米 代数这章节
  4. ^ 参见韦达定理

参考资料[编辑]

  1. ^ 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  2. ^ 二次函数公式汇总(文档)百度文库
  3. ^ 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 
  4. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程

参考书目[编辑]

參見[编辑]

外链[编辑]