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二次方程

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二次方程是一种整式方程,主要特点是未知项的最高次数是2,其中最常见的是一元二次方程[1]

一元二次方程[编辑]

方程的一般形式[编辑]

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程,它的一般形式为:,其中 为方程的二次项,为方程的二次项系数为一次项,为一次项系数;常数项。若,则该方程没有二次项,即退变为一元一次方程

求根公式[编辑]




一元二次方程根的判别式為

,則該方程有两個不相等的實数根:

,則該方程有两個相等的實数根:

,則該方程有一對共軛複數根:

由上可知,在實數範圍內求解一元二次方程,當時,方程纔有根(有兩個不等實數根或兩個相等實數根);當時,方程無解。

根与系数的关系[编辑]

是一元二次方程 )的两根,则

两根之和:

两根之积:

求根公式的由来[编辑]

中亚细亚花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式,并把方程的未知数叫做「根」,其后译成拉丁文radix

我们通常把 称之为 的求根公式:

或不將係數化為1:

对应函数的极值[编辑]

),
求导,得


,得


即为 极值点,该式亦为函数图形(即抛物线)的对称轴方程。 将 代入 ,可得


即为 的极值。

根据函数取极值的充分条件,即:
极大值点
极小值点
,可知:
时(抛物线开口向下),的极大值点;
时(抛物线开口向上),的极小值点。

參見[编辑]

参考[编辑]

  1. ^ 一般二次方程的讨论