四次方程

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y=7x^4+9x^3-24x^2-28x+48的圖形

四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\, 其中 a\ne0\,

本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。

解决四次方程[编辑]

自然,人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它 多项式,有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。通过很多努力之后,人们终于找到了一个运算法则可以解出任何一个四次方程;不过之后证明(由埃瓦里斯特·伽罗瓦给出),这样的一种方法在五次方程这里止步了;也就是说,四次方程是次数最高的一种方程,它的解可以通过一个运算法则,由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程,人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解,如同对于五次方程以下的方程所做的那样。

视四次方程的复杂性而言(参见下文),求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根,可以通过(对于任意次数的多项式都为真)试错法,或是使用鲁菲尼法则(只要所给的多项式的系数都是有理的)求出。到了计算机时代,通过牛顿法,人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出,你可以参见下文关于方法的概述。

求根公式[编辑]

{}_{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,a\ne0}

{}_{x_1=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}+\frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}} {3\sqrt[3]{2}a}}}}}

{}_{x_2=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}+\frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}} {3\sqrt[3]{2}a}}}}}

{}_{x_3=-\frac{b}{4a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}-\frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}} {3\sqrt[3]{2}a}}}}}

{}_{x_4=-\frac{b}{4a}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}{3\sqrt[3]{2}a}-\frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}\left(c^2-3bd+12ae\right)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace+\sqrt{-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3+\left(2c^3-9bcd+27ad^2+27b^2e-72ace\right)^2}}} {3\sqrt[3]{2}a}}}}}

{}_{\Delta=256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e-27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de+18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3 c d e-4 b^3 d^3-4 b^2 c^3 e+b^2 c^2 d^2}

特殊情况[编辑]

名义上的四次方程[编辑]

如果 e=0 \,,那么其中一个根为 x=0 \,,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,

ax^3+bx^2+cx+d=0 \,

双二次方程[编辑]

四次方程式中若 b \  d \ 均為  0 \ 者有下列形态:

ax^4+cx^2+e=0\,\!

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 z=x^2 \, ,我們的方程式便成為:

az^2+cz+e=0\,\!

這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:

z={{-c\pm\sqrt{c^2-4ae}} \over {2a}}\,\!

當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到x \, 的值:

x_1=+\sqrt{z_1}\,\!
x_2=-\sqrt{z_1}\,\!
x_3=+\sqrt{z_2}\,\!
x_4=-\sqrt{z_2}\,\!

若任何一個 z \, 的值為負數或複數,那麼一些 x \, 的值便是複數。

一般情况,沿着费拉里的路线[编辑]

开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

转变成减少次数的四次方程[编辑]

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以a \,

 a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0 \qquad\qquad(1')
 x^4 + {b \over a} x^3 + {c \over a} x^2 + {d \over a} x + {e \over a} = 0.

第一步:消除 x^3  \,列。为了做到这一步,先把变量x\,变成u\,,其中

 x = u - {b \over 4 a} .

将变量替换: \left( u - {b \over 4 a} \right)^4 + {b \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right)^3 + {c \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right)^2 + {d \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right) + {e \over a} = 0.

展开后变成: \left( u^4 - {b \over a} u^3 + {6 u^2 b^2 \over 16 a^2} - {4 u b^3 \over 64 a^3} + {b^4 \over 256 a^4} \right) 
+ {b \over a} 
\left( u^3 - {3 u^2 b \over 4 a} + {3 u b^2 \over 16 a^2} - {b^3 \over 64 a^3} \right) 
+ {c \over a} 
\left( u^2 - {u b \over 2 a} + {b^2 \over 16 a^2} \right) + {d \over a} \left( u - {b \over 4 a} \right) + {e \over a}.

整理后变成以u为变量的表达式

 u^4 + \left( {-3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a} \right) u^2 + \left( {b^3 \over 8 a^3} - {b c \over 2 a^2} + {d \over a} \right) u + \left( {-3 b^4 \over 256 a^4} + {b^2c \over 16 a^3} - {bd \over 4 a^2} + {e \over a} \right) = 0.

现在改变表达式的系数,为

 \alpha = {-3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a},
 \beta = {b^3 \over 8 a^3} - {bc \over 2 a^2} + {d \over a},
 \gamma = {-3 b^4 \over 256 a^4} + {b^2c \over 16 a^3} - {bd \over 4 a^2} + {e \over a}.

结果就是我们期望的低级四次方程式,为

 u^4 + \alpha u^2 + \beta u + \gamma = 0 \qquad \qquad (1)

如果 \beta=0\, 那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 x\,的值.

费拉里的解法[编辑]

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式

 (u^2 + \alpha)^2 - u^4 - 2 \alpha u^2 = \alpha^2 \,

从方程 (1)和上式,得出:

 (u^2 + \alpha)^2 + \beta u + \gamma = \alpha u^2 + \alpha^2. \qquad \qquad (2)

结果把 u^4 \,配成了完全平方式: (u^2+\alpha)^2\,。左式中,\alpha u^2\, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程\left(2\right)\, 左边的完全平方中插入变量 y \,,相应地在右边插入一项 2y\,。根据恒等式


  \begin{matrix}
   (u^2+\alpha+y)^2-(u^2+\alpha)^2 & = & 2y(u^2+\alpha)+ y^2\ \ 
  \\
   & = & 2yu^2+2y\alpha+y^2,
  \end{matrix}

 0 = (\alpha + 2 y) u^2 - 2 y u^2 - \alpha u^2 \,两式相加,可得
 (u^2 + \alpha + y)^2 - (u^2 + \alpha)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \alpha u^2 + 2 y \alpha + y^2 \qquad \qquady\,的插入)

与等式(2)相加,得

 (u^2 + \alpha + y)^2 + \beta u + \gamma = (\alpha + 2 y) u^2 + (2 y \alpha + y^2 + \alpha^2) \,

也就是

 (u^2 + \alpha + y)^2 = (\alpha + 2 y) u^2 - \beta u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma). \qquad \qquad (3)

现在我们需要寻找一个y\,值,使得方程\left(3\right)\,的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:

 (s u + t)^2 = (s^2) u^2 + (2 s t) u + (t^2)\,

右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:

 (2 s t)^2 - 4 (s^2) (t^2) = 0 \,

因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:

 (-\beta)^2 - 4 (2 y + \alpha) (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma) = 0 \,

把二项式与多项式相乘,

 \beta^2 - 4 (2 y^3 + 5 \alpha y^2 + (4 \alpha^2 - 2 \gamma) y + (\alpha^3 - \alpha \gamma)) = 0 \,两边除以4\,,再把-\frac{\beta^2}{4}\,移动到右边,
 2 y^3 
+ 5 \alpha y^2 
+ ( 4 \alpha^2 - 2 \gamma ) y 
+ \left( \alpha^3 - \alpha \gamma - {\beta^2 \over 4} \right) 
= 0 \qquad \qquad

这是关于y\,三次方程。两边除以2\,

 y^3 + {5 \over 2} \alpha y^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) y + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0. \qquad \qquad (4)
转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程[编辑]

方程\left(4\right)\,是嵌套的三次方程。为了解方程\left(4\right)\,,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:

 y = v - {5 \over 6} \alpha.

方程\left(4\right)\,变为

 \left( v - {5 \over 6} \alpha \right)^3 + {5 \over 2} \alpha \left( v - {5 \over 6} \alpha \right)^2 + (2 \alpha^2 - \gamma) \left( v - {5 \over 6} \alpha \right) + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.

展开,得

 \left( v^3 - {5 \over 2} \alpha v^2 + {25 \over 12} \alpha^2 v - {125 \over 216} \alpha^3 \right) + {5 \over 2} \alpha \left( v^2 - {5 \over 3} \alpha v + {25 \over 36} \alpha^2 \right) + (2 \alpha^2 - \gamma) v - {5 \over 6} \alpha (2 \alpha^2 - \gamma ) + \left( {\alpha^3 \over 2} - {\alpha \gamma \over 2} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.

合并同类项,得

 v^3 + \left( - {\alpha^2 \over 12} - \gamma \right) v + \left( - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8} \right) = 0.

这是嵌套的三次方程。

 P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,
 Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}.

则此三次方程变为

 v^3 + P v + Q = 0. \qquad \qquad (5)
解嵌套的降低次数的三次方程[编辑]

方程\left(5\right)\,的解(三个解中任何一个都可以)为

U=\sqrt[3]{{Q\over 2}\pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}
(由三次方程
v = {P\over 3U} - U

则原来的嵌套三次方程的解为

y = - {5 \over 6} \alpha + {P\over 3U} - U \qquad \qquad (6)
注意 \left(1\right)\,P=0 \Longrightarrow {Q\over 2} + \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}=0
注意 \left(2\right)\,\lim_{P\to 0}{P \over \sqrt[3]{{Q\over 2} + \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}}=0
配成完全平方项[编辑]

y\,的值已由\left(6\right)\,式给定,现在知道等式\left(3\right)\,的右边是完全平方的形式

s^2 u^2+2stu+t^2 = \left(\sqrt{s^2}u + {2st \over 2\sqrt{s^2}}\right)^2
这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。A\,的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个\pm a\,消去。

从而它可分解因式为:

 (\alpha + 2 y) u^2 + (- \beta) u + (y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma ) = \left( \sqrt{\alpha + 2y}u + {(-\beta) \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right)^2.
注:若  \beta \ne0 \,\alpha+ 2y \ne 0 \,。如果 \beta= 0  \,则方程为双二次方程,前面已讨论过。

因此方程\left(3\right)\,化为

(u^2 + \alpha + y)^2 = \left(\sqrt{\alpha + 2 y}u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right)^2 \qquad\qquad (7).

等式\left(7\right)\,两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:

(u^2 + \alpha + y) = \pm\left(\sqrt{\alpha + 2 y}u - {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) \qquad\qquad (7').

u\,合并同类项,得

u^2 + \left(\mp_s \sqrt{\alpha + 2 y}\right)u + \left( \alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) = 0 \qquad\qquad (8).
注:\pm_s\mp_s 中的下标 s\, 用来标记它们是相关的。

方程\left(8\right)\,是关于u\,二次方程。其解为

u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{(\alpha + 2y) - 4(\alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}})} \over 2}.

化简,得

u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}.

这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为

x=-{b \over 4a} + {\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}. \qquad\qquad (8')
注意:两个 \pm_s 来自等式\left(7^'\right)\,的同一处,并且它们应有相同的符号,而 \pm_t 的符号是无关的。
费拉里方法的概要[编辑]

给定一个四次方程

 a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\,

其解可用如下方法求出:

 \alpha = - {3 b^2 \over 8 a^2} + {c \over a},
 \beta = {b^3 \over 8 a^3} - {bc \over 2 a^2} + {d \over a},
 \gamma = {-3 b^4 \over 256 a^4} + {b^2c \over 16 a^3} - {bd \over 4 a^2} + {e \over a},
\beta=0\,,求解 u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0\, 并代入 x=u-{b\over 4a},求得根
x=-{b\over 4a}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0.
 P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,
 Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8},
 R = {Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}, (平方根任一正负号均可)
 U = \sqrt[3]{R}, (有三个复根,任一个均可)
 y = - {5 \over 6} \alpha -U + \begin{cases}U=0 &\to 0\\U\ne 0 &\to {P\over 3U}\end{cases},
 x = - {b \over 4 a} + { \pm_s  \sqrt{ \alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over\sqrt{\alpha +2y}} \right) }\over 2 }.
两个\pm _s\, 必须有相同的符号,\pm _t\, 的符号无关。为得到全部的根,对\pm _s\,\pm _t\, ,= , +\,,+ \,+-\,-+\,- -\, 来求 x\,。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有 \beta = 0\,,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根U\, 的选取。(见对\left(8\right)\,相对\left(8^'\right)\,的注)

此即所求。

还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

 x^4 + 6 x^2 - 60 x + 36 = 0 \,

它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。

另一種的計算方式[编辑]

 (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3) (x - x_4) = 0 \,

此四次方程是下列两个二次方程之积:

 (x - x_1) (x - x_2) = 0 \qquad \qquad (9)

以及

 (x - x_3) (x - x_4) = 0. \qquad \qquad (10)

由于

 x_2 = x_1^\star

因此


  \begin{matrix}
   (x-x_1)(x-x_2)&=&x^2-(x_1+x_1^\star)x+x_1x_1^\star\qquad\qquad\qquad\quad
  \\
   &=&x^2-2\,\mathrm{Re}(x_1)x+[\mathrm{Re}(x_1)]^2+[\mathrm{Im}(x_1)]^2.
  \end{matrix}

 a = - 2 \, \mathrm{Re}(x_1),
 b = [ \mathrm{Re}( x_1) ]^2 + [ \mathrm{Im}(x_1) ]^2 \,

则方程\left(9\right)\, 变为

 x^2 + a x + b = 0. \qquad \qquad (11)

同时有(未知的)变量
w\,v\,使方程\left(10\right)\, 变为

 x^2 + w x + v = 0. \qquad \qquad (12)

方程\left(11\right)\,\left(12\right)\, 相乘,得

 x^4 + (a + w) x^3 + (b + w a + v) x^2 + (w b + v a) x + v b = 0. \qquad \qquad (13)

把方程\left(13\right)\, 与原来的二次方程比较,可知

 a + w = {B \over A},
 b + w a + v = {C \over A},
 w b + v a = {D \over A},

 v b = {E \over A}.

因此

 w = {B \over A} - a = {B \over A} + 2 \mathrm{Re}(x_1),
 v = {E \over A b} = {E \over A \left( 
[ \mathrm{Re}(x_1) ]^2 + [ \mathrm{Im}(x_1) ]^2 \right) }.

方程\left(12\right)\,的解为

 x_3 = {-w + \sqrt{w^2 - 4 v} \over 2},
 x_4 = {-w - \sqrt{w^2 - 4 v} \over 2}.

这两个解中的一个应是所求的实解。

其它方法[编辑]

化为双二次方程[编辑]

一个例子可见双二次方程

埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解[编辑]

相关条目[编辑]

参见[编辑]

参考[编辑]