四次方程

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四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:

其中

本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。

解决四次方程[编辑]

自然,人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它 多项式,有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。经过很多努力之后,人们终于找到了一个可以解出任何四次方程的运算法则;不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,这样的一种方法在五次方程这里止步了;也就是说,四次方程是次数最高的一种方程,它的解可以通过一个运算法则,由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程,人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解,如同对于五次方程以下的方程所做的那样。

由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根,可以通过(对于任意次数的多项式都为真)试错法,或是使用鲁菲尼法则(只要所给的多项式的系数都是有理的)求出。到了计算机时代,通过牛顿法,人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出,你可以参见下文关于方法的概述。

求根公式[编辑]

特殊情况[编辑]

名义上的四次方程[编辑]

如果,那么其中一个根为,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,

双二次方程[编辑]

四次方程式中若 均為 者有下列形态:

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 ,我們的方程式便成為:

這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:

當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到 的值:

若任何一個 的值為負數或複數,那麼一些 的值便是複數。

一般情况,沿着费拉里的路线[编辑]

开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。

转变成减少次数的四次方程[编辑]

要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以

第一步:消除 列。为了做到这一步,先把变量变成,其中

.

将变量替换:

展开后变成:

整理后变成以u为变量的表达式

现在改变表达式的系数,为

结果就是我们期望的低级四次方程式,为

如果 那么等式就变成了雙二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 的值.

费拉里的解法[编辑]

这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恆等式

从方程 (1)和上式,得出:

结果把 配成了完全平方式:。左式中, 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。

下一步是在方程 左边的完全平方中插入变量 ,相应地在右边插入一项。根据恒等式

两式相加,可得
的插入)

与等式(2)相加,得

也就是

现在我们需要寻找一个值,使得方程的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:

右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:

因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:

把二项式与多项式相乘,

两边除以,再把移动到右边,

这是关于三次方程。两边除以

转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程[编辑]

方程是嵌套的三次方程。为了解方程,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:

方程变为

展开,得

合并同类项,得

这是嵌套的三次方程。

则此三次方程变为

解嵌套的降低次数的三次方程[编辑]

方程的解(三个解中任何一个都可以)为

(由三次方程

则原来的嵌套三次方程的解为

注意
注意

配成完全平方项[编辑]

的值已由式给定,现在知道等式的右边是完全平方的形式

这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个消去。

从而它可分解因式为:

.
注:若 。如果 则方程为双二次方程,前面已讨论过。

因此方程化为

.

等式两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。

如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:

.

合并同类项,得

.
注: 中的下标 用来标记它们是相关的。

方程是关于二次方程。其解为

化简,得

这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为

注意:两个 来自等式的同一处,并且它们应有相同的符号,而 的符号是无关的。

费拉里方法的概要[编辑]

给定一个四次方程

其解可用如下方法求出:

,求解 并代入 ,求得根
.
(平方根任一正负号均可)
(有三个复根,任一个均可)
两个 必须有相同的符号, 的符号无关。为得到全部的根,对 ,,, 来求。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根 的选取。(见对相对的注)

此即所求。

还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是

它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。

另一種的計算方式[编辑]

此四次方程是下列两个二次方程之积:

以及

由于

因此

则方程 变为

同时有(未知的)变量使方程 变为

方程 相乘,得

把方程 与原来的二次方程比较,可知

因此

方程的解为

这两个解中的一个应是所求的实解。

其它方法[编辑]

化为双二次方程[编辑]

一个例子可见双二次方程

埃瓦里斯特·伽罗瓦的理论和因式分解[编辑]

參見[编辑]


文獻[编辑]