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二次函數

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f(x) = x^2 - x - 2\,\!

數學中,二次函數quadratic function)表示形為f(x)=ax^2+bx+c \,\!a \ne 0 \,\!,且a、b、c是常數)的多項式函數,其中,x為自變量[註 1],a,b,c分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於y軸的拋物線[1]

二次函數表達式ax^2+bx+c的定義是一個二次多項式,因為x的最高次數是2。

如果令二次函數的值等於零,則可得一個二次方程。該方程的解稱為方程的或函數的零點。

歷史[編輯]

大約在公元前480年,古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。 7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人,它同時容許有正負數的根。[註 2] 11世紀阿拉伯的花拉子米 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲[註 3]

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二次方程ax^2+bx+c=0\,\!a \ne 0 \,\!,b^2-4ac\geqslant0且a,b,c為常數)的兩個根為:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

解方程後,我們會得到兩個根:x1和x2。則點(x1,0)和(x2,0)就是這個二次函數與X軸的交點。特殊的:

  • \Delta = b^2-4ac \,為一元二次方程式的判別式,又記作D。
  • 如果\Delta > 0\,\!,則方程有兩個不相等的根,也即與X軸有兩個不重合的交點,因為\sqrt{\Delta}是正數。
  • 如果\Delta = 0\,\!,則方程有兩個相等的根,也即與X軸有一個切點,因為\sqrt{\Delta}是零。
  • 如果\Delta < 0\,\!,則方程沒有實數根,也即與X軸沒有交點,因為\sqrt{\Delta}是二共軛虛根。

 r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ,我們可以把 a x^2 + b x + c \,\!分解為 a(x - r_1)(x - r_2)\,\!

二次函數的形式[編輯]

二次函數可以表示成以下三種形式:

  • f(x) = a x^2 + b x + c \,\!稱為「一般形式」或「多項式形式」;
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!稱為「因子形式」或「交點式」,其中 r_1  r_2 是二次方程的兩個根,(r_1,0),(r_2,0)拋物線x軸的兩個交點;
  • f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!稱為「標準形式」或「頂點形式」,(h,k)即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時,我們需要用求根公式來算出兩個根 r_1  r_2 ,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式轉換成標準形式時,我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時,我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

  • h代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為h
  • k展開後比較後可得k=-a(\frac{|r_1-r_2|}{2})^2

不通過r_1r_2kh公式:

  • h = - \frac{b}{2a}
  • k = \frac{4ac-b^2}{4a}

而在三種形式中皆出現的a為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖形開口的大小與方向

圖像[編輯]

f(x) = ax^2 ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!
  • 係數a控制了二次函數從頂點的增長(或下降)速度,a越大,函數就增長得越快。
  • 係數ba控制了拋物線的對稱軸(以及頂點的x座標)。
  • 係數b控制了拋物線穿過y軸時的傾斜度(導數)。
  • 係數c控制了拋物線的高度,它是拋物線與y軸的交點。
函數 圖像 函數變化 對稱軸 開口方向 最大(小)值
y=ax^2 a>0 Function ax^2.jpg x>0時,yx的增大而增大;
x<0時,yx的減小而增大
y
x=0
向上 0
y=ax^2 a<0 x>0時,yx的減小而減小;
x<0時,yx的增大而減小
y
x=0
向下 0
y=ax^2+c a>0 x>0時,yx的增大而增大;
x<0時,yx的減小而增大
y
x=0
向上 c
y=ax^2+c a<0 x>0時,yx的增大而減小;
x<0時,yx的減小而減小
y
x=0
向下 c
y=ax^2+bx+c a>0 x>-\frac{b}{2a}時,yx的增大而增大;
x<-\frac{b}{2a}時,yx的減小而增大
x=-\frac{b}{2a} 向上 -\frac{\Delta}{4 a}
y=ax^2+bx+c a<0 x>-\frac{b}{2a}時,yx的增大而減小;
x<-\frac{b}{2a}時,yx的減小而減小
x=-\frac{b}{2a} 向下 -\frac{\Delta}{4 a}

x截距[編輯]

當函數與x軸有兩個交點時,設這兩個交點分別為A(x_1,0),B(x_2,0),由根與係數的關係得[註 4](1)x_1+x_2=-\frac{b}{a},(2)x_1x_2=\frac{c}{a}

AB=|x_2-x_1|
=|\sqrt{(x_2-x_1)^2}|
=|\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}|
=|\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-\frac{4c}{a}}|
=|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}|
=|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}|
=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}[2]

頂點[編輯]

拋物線的頂點是它轉彎的地方,也稱為駐點。如果二次函數是標準形式,則頂點為(h, k)\,\!。用配方法,可以把一般形式f(x) = a x^2 + b x + c \,\!化為:

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a} ,[3][4]

因此在一般形式中,拋物線的頂點是:

 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)

如果二次函數是因子形式f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!,則兩個根的平均數

\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!

就是頂點的x座標,因此頂點位於

 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!

a < 0 \,\!時,頂點也是最大值,a > 0 \,\!時,則是最小值。

經過頂點的豎直線

 x=h=-\frac{b}{2a}

又稱為拋物線的對稱軸。

  • 最大值和最小值
函數的最大值和最小值總是在駐點(又稱臨界點,穩定點)取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實,這種方法的好處是適用於更一般的函數。
設有函數f(x) = ax^2 + bx + c \,\!,尋找它的極值時,我們必須先求出它的導數
f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b \,\!
然後,求出f'(x)\,\!的根:
2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}
因此,-\frac{b} {2a}f(x)\,\!x\,\!值。現在,為了求出y\,\!,我們把x = -\frac{b} {2a}代入f(x)\,\!
y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}
所以,最大值或最小值的座標為:
 \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right)

二次函數的平方根[編輯]

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓,要麼是雙曲線。如果a>0\,\!,則方程 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線 y_p = a x^2 + b x + c \,\!的最小值決定。如果最小值是負數,則雙曲線的軸是水平的。如果是正數,則雙曲線的軸是豎直的。如果a<0\,\!,則方程 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 的圖像要麼是一個橢圓,要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線 y_p = a x^2 + b x + c \,\!的最大值是正數,則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數,則描述了一個空集

二元二次函數[編輯]

二元二次函數是以下形式的二次多項式:

 f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!

這個函數描述了一個二次曲面。把f(x,y)\,\!設為零,則描述了曲面與平面z=0\,\!的交線,它是一條圓錐曲線

最小值/最大值[編輯]

如果 4AB-E^2 <0 \,,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是雙曲拋物面

如果 4AB-E^2 >0 \,,則當A>0時函數具有最小值,當A<0具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點(x_m, y_m) \,取得,其中:

x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}

如果 4AB- E^2 =0 \, DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是拋物柱面。

如果 4AB- E^2 =0 \, DE-2CB=2AD-CE =0 \,,則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當A>0時取得最大值,A<0時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

註釋[編輯]

  1. ^ 註:自變量x的取值範圍為任何實數
  2. ^ 參見婆羅摩笈多 代數章節
  3. ^ 參見花拉子米 代數這章節
  4. ^ 參見韋達定理

參考資料[編輯]

  1. ^ 數學. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  2. ^ 二次函數公式匯總(文檔)百度文庫
  3. ^ 賈士代. 初中代數41講. 北京: 首都師範大學出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 
  4. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程

參考書目[編輯]

參見[編輯]

外鏈[編輯]