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二次函數

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式子:

數學中,二次函數英語:quadratic function)表示形為,且a、b、c是常數)的多項式函數,其中,x為自變量[a],a,b,c分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於y軸的拋物線[1]

二次函數表達式的定義是一個二次多項式,因為的最高次數是2。

如果令二次函數的值等於零,則可得一個二次方程。該方程的解稱為方程的或函數的零點。

歷史[編輯]

大約在公元前480年,古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。 7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人,它同時容許有正負數的根。[b] 11世紀阿拉伯的花拉子米 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲[c]

[編輯]

二次方程且a,b,c為常數)的兩個根為:

解方程後,我們會得到兩個根:x1和x2。則點(x1,0)和(x2,0)就是這個二次函數與X軸的交點。特殊的:

  • 為一元二次方程式的判別式,又記作D。
  • 如果,則方程有兩個不相等的根,也即與X軸有兩個不重合的交點,因為是正數。
  • 如果,則方程有兩個相等的根,也即與X軸有一個切點,因為是零。
  • 如果,則方程沒有實數根,也即與X軸沒有交點,因為是二共軛虛根。

,我們可以把分解為

二次函數的形式[編輯]

二次函數可以表示成以下三種形式:

  • 稱為一般形式多項式形式
  • 稱為因子形式交點式,其中是二次方程的兩個根,,拋物線軸的兩個交點。
  • 稱為標準形式頂點形式即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時,我們需要用求根公式來算出兩個根,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式轉換成標準形式時,我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時,我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

  • h代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為h
  • k展開後比較後可得

不通過公式:

而在三種形式中皆出現的a為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像[編輯]

  • 係數a控制了二次函數從頂點的增長(或下降)速度,a越大,函數就增長得越快。
  • 係數ba控制了拋物線的對稱軸(以及頂點的x座標)。
  • 係數b控制了拋物線穿過y軸時的傾斜度(導數)。
  • 係數c控制了拋物線的高度,它是拋物線與y軸的交點。
函數 圖像 函數變化 對稱軸 開口方向 最大(小)值
Function ax^2.jpg 時,的增大而增大;
時,的減小而增大

向上
時,的增大而減小;
時,的減小而減小

向下
時,的增大而增大;
時,的減小而增大

向上
時,的增大而減小;
時,的減小而減小

向下
時,的增大而增大;
時,的減小而增大
向上
時,的增大而減小;
時,的減小而減小
向下

x截距[編輯]

當函數與軸有兩個交點時,設這兩個交點分別為,由根與係數的關係得[d]

[2]

頂點[編輯]

拋物線的頂點是它轉彎的地方,也稱為駐點。如果二次函數是標準形式,則頂點為。用配方法,可以把一般形式化為:

[3][4]

因此在一般形式中,拋物線的頂點是:

如果二次函數是因子形式,則兩個根的平均數

就是頂點的x座標,因此頂點位於

時,頂點也是最大值,時,則是最小值。

經過頂點的豎直線

又稱為拋物線的對稱軸。

  • 最大值和最小值
函數的最大值和最小值總是在駐點(又稱臨界點,穩定點)取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實,這種方法的好處是適用於更一般的函數。
設有函數,尋找它的極值時,我們必須先求出它的導數
然後,求出的根:
因此,值。現在,為了求出,我們把代入
所以,最大值或最小值的座標為:

二次函數的平方根[編輯]

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓,要麼是雙曲線。如果,則方程描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線的最小值決定。如果最小值是負數,則雙曲線的軸是水平的。如果是正數,則雙曲線的軸是豎直的。如果,則方程的圖像要麼是一個橢圓,要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線的最大值是正數,則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數,則描述了一個空集

二元二次函數[編輯]

二元二次函數是以下形式的二次多項式:

這個函數描述了一個二次曲面。把設為零,則描述了曲面與平面的交線,它是一條圓錐曲線

最小值/最大值[編輯]

如果,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是雙曲拋物面

如果,則當A>0時函數具有最小值,當A<0具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點取得,其中:

如果,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是拋物柱面。

如果,則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當A>0時取得最大值,A<0時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

註釋[編輯]

  1. ^ 註:自變量的取值範圍為任何實數
  2. ^ 參見婆羅摩笈多 代數章節
  3. ^ 參見花拉子米 代數這章節
  4. ^ 參見韋達定理

參考資料[編輯]

  1. ^ 數學. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  2. ^ 二次函數公式匯總(文檔)百度文庫
  3. ^ 賈士代. 初中代數41講. 北京: 首都師範大學出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 
  4. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程

參考書目[編輯]

參見[編輯]

外鏈[編輯]