解析式:
在数学中,二次函数(英語:quadratic function)表示形为
(
,且
、
、
是常数)的多项式函数,其中,
为自变量[a],
、
、
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于
轴的抛物线。[1]
二次函数表达式
的定义是一个二次多项式,因为
的最高冪次是2。
如果令二次函数的值等于零,则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
大约在公元前480年,古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人,它同时容许有正负数的根。[b]
11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。[c]
二次方程
的两个根为:
解方程后,我们会得到两个根:
和
。则点
和
就是二次函数与
轴的交点。根的类型如下:
- 设
為一元二次方程式的判別式,又記作D。
- 當
,则方程有两个不相等的根,也即与
轴有两个不重疊的交点,因为
是正数。
- 當
,则方程有两个相等的根,也即与
轴有一个切点,因为
是零。
- 當
,则方程没有實數根,也即与
轴没有交点,因为
是共軛複數。
设
和
,我们可以把
因式分解为
。
二次函数可以表示成以下三种形式:
称为一般形式或多项式形式。
称为因子形式或交点式,其中
和
是二次方程的两个根,
,
是抛物线与
轴的两个交点。
称为标准形式或顶点形式,
即為此二次函數的頂點。
把一般形式转换成因子形式时,我们需要用求根公式来算出两个根
和
,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式转换成标准形式时,我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时,我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。
代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為
展開後比較後可得 ![{\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1c9cd1b9d0c6360bf9553fbf7d3f6294c08058)
不通過
和
求
及
公式:
![{\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36a77361ce8a83dc957d6a9d16025e3c35aac33)
(也作
)
而在三種形式中皆出現的
為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/350px-Function_ax%5E2.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Function_x%5E2%2Bbx.svg/350px-Function_x%5E2%2Bbx.svg.png)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Function_x%5E2-bx.svg/350px-Function_x%5E2-bx.svg.png)
- 系数
控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度,即二次函数开口方向和大小。
越大,开口越小,函数就增长得越快。
- 系数
和
控制了抛物线的对称轴(以及顶点的
坐标)。
- 系数
控制了抛物线穿过
轴时的倾斜度(导数)。
- 系数
控制了抛物线最低点或最高点的高度,它是抛物线与
轴的交点。
函数
|
图像
|
函数变化
|
对称轴
|
开口方向
|
最大(小)值
|
![{\displaystyle y=ax^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d52a44a3db46af9ddcfabec595af948aff95b8) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_ax%5E2.svg/140px-Function_ax%5E2.svg.png) |
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
轴 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d52a44a3db46af9ddcfabec595af948aff95b8) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png) |
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
轴 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向下 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e46b56f6dad46290199ea9d264667f5addf42) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png) |
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
轴 或![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e46b56f6dad46290199ea9d264667f5addf42) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png/140px-%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0_c%E4%B8%8D%E4%B8%BA0.png) |
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
轴 或 ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc) |
向下 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022) |
![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0.png/140px-Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%A4%A7%E4%BA%8E0.png) |
当 时, 随 的增大而增大; 当 时, 随 的减小而增大 |
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b) |
向上 |
|
![{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022) |
![{\displaystyle a<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c) |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png/140px-Y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc_a%E5%B0%8F%E4%BA%8E0.png) |
当 时, 随 的增大而减小; 当 时, 随 的减小而减小 |
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149700f11980672ab7e1d5af4898f0ac67aba29b) |
向下 |
|
当函数与
轴有两个交点时,设这两个交点分别为
,由根与系数的关系得出[d]:
和
![{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22650188243723bde39993ec0264d5e274c8c36)
抛物线的顶点是它转弯的地方,也称为驻点。如果二次函数是标准形式,则顶点为
。用配方法,可以把一般形式
化为:
[2][3]
因此在一般形式中,抛物线的顶点是:
如果二次函数是因子形式
,则两个根的平均数
就是顶点的
坐标,因此顶点位于![{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ae67ece35b3d257df9db59d509524b4567a96a)
时,顶点也是最大值;
时,则是最小值。
经过顶点的竖直线
又称为抛物线的对称轴。
函数的最大值和最小值总是在驻点(又称临界点,稳定点)取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实,这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数
,寻找它的極值时,我们必须先求出它的导数:
然后,求出
的根:
因此,
是
的
值。现在,为了求出
,我们把
代入
:
所以,最大值或最小值的坐标为:
由於實數的二次方皆大於等於0,因此當
時,
有最大或最小值
。
二次函数的平方根的图像要么是椭圆,要么是双曲线。如果
,则方程
描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线
的最小值决定。如果最小值是负数,则双曲线的轴是水平的。如果是正数,则双曲线的轴是竖直的。如果
,则方程
的图像要么是一个椭圆,要么什么也没有。如果对应的抛物线
的最大值是正数,则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数,则描述了一个空集。
二元二次函数是以下形式的二次多项式:
这个函数描述了一个二次曲面。把
设为零,则描述了曲面与平面
的交线,它是一条圆锥曲线。
如果
,则函数没有最大值或最小值,其图像是双曲抛物面。
如果
,则当
时函数具有最小值,当
具有最大值。其图像是椭圆抛物面。
二元二次函数的最大值或最小值在点
取得,其中:![{\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d87fe7005bf14a60105c7b02b2ddd9712c5178d)
如果
且
,则函数没有最大值或最小值,其图像是抛物柱面。
如果
且
,则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当
时取得最大值,
时取得最小值。其图像也是抛物柱面。