三次方程式是未知項總次數最高為3的整式方程式,一元三次方程式一般形式為
- ,
其中是屬於一個域的數字,通常這個域為ℝ或ℂ。
本條目只解釋一元三次方程式,而且簡稱之為三次方程式。
中國唐朝數學家王孝通在武德九年(626年)前後所著的《緝古算經》中建立了25個三次多項式方程式和提出三次方程式實根的數值解法。[1]
波斯數學家歐瑪爾·海亞姆(1048年-1123年)通過用圓錐截面與圓相交的方法構建了三次方程式的解法。他說明了怎樣用這種幾何方法利用三角法表得到數字式的答案。
中國南宋的數學家秦九韶在他1247年編寫的《數書九章》一書中提出了高次方程式的數值解法秦九韶算法,提出「商常為正,實常為負,從常為正,益常為負」的原則。
在十六世紀早期,義大利數學家費羅找到了能解一種三次方程式的方法,也就是形如的方程式。事實上,如果我們允許是複數,所有的三次方程式都能變成這種形式,但在那個時候人們不知道複數。
尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡爾丹諾拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡爾丹諾注意到塔爾塔利亞的方法有時需要他給複數開平方。他甚至在《數學大典》裡包括了這些複數的計算,但他並不真正理解它。拉斐爾·邦貝利(Rafael Bombelli)詳細地研究了這個問題,並因此被人們認為是複數的發現者。
當時,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
當時,方程式有三個實根:當
時,方程式有一個三重實根;
當
時,方程式的三個實根中有兩個相等;
當時,方程式有三個不等的實根。
紅色字體部分為判別式。
當時,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
當時,方程式有三個實根:
當時,方程式有一個三重實根;
當時,方程式的三個實根中有兩個相等;
當時,方程式有三個不等的實根。
,其中。
若令,則
令為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程式只需找到一個根,然後把方程式除以,就得到一個二次方程式,而我們已會解二次方程式。
在一個代數封閉域,所有三次方程式都有三個根。複數體就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。
解方程式步驟:
- 把原來方程式除以首項係數,得到:
- ,其中,,。
- 代換未知項,以消去二次項。當展開,會得到這項,正好抵消掉出現於的項。故得:
- ,其中和是域中的數字。
- ;。
- 設滿足,則為解
- 這個假設的hint如下:
- 記。前一方程式化為。
- 展開:。
- 重組:。
- 分解:。
- 設和。我們有和因為。所以和是輔助方程式的根,可代一般二次方程式公式得解。
接下來,和是和的立方根,適合,,最後得出。
在域裡,若和是立方根,其它的立方根就是和,當然還有和,其中,是1的一個複數立方根。
因為乘積固定,所以可能的是,和。因此三次方程式的其它根是和。
最先嘗試解的三次方程式是實係數(而且是整數)。因為實數體並非代數封閉,方程式的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在裡,就是的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程式的判別式,
- 若,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
- 若,方程式有三個實根:當時,方程式有一個三重實根;當時,方程式的三個實根中有兩個相等;
- 若,方程式有三個不等的實根:其中(注意,由於此公式應對於的形式,因此這裡的實際上是前段的,應用時務必注意取負號即)。
注意到實係數三次方程式有一實根存在,這是因為非常數多項式在和的極限是無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因為多項式是連續函數,所以從介值定理可知它在某點的值為0。
解。
我們依照上述步驟進行:
- (全式除以)
- 設,代換:,再展開。
- ,,。設和。和是的根。
- 和,
- 和。
- ,
該方程式的另外兩個根:
- ,
- ,
這是一個歷史上的例子,因為它是邦別利考慮的方程式。
方程式是。
從函數算出判別式的值,知道這方程式有三實根,所以比上例更容易找到一個根。
前兩步都不需要做,做第三步:,,。
- 和。
和是的根。這方程式的判別式已算出是負數,所以只有實根。很弔詭地,這方法必須用到複數求出全是實數的根。這是發明複數的一個理由:複數是解方程式必需工具,即使方程式或許只有實根。
我們解出和。取複數立方根不同於實數,有兩種方法:幾何方法,用到輻角和模(把輻角除以3取模的立方根);代數方法,分開複數的實部和虛部:
現設。
- 等價於:
- (實部)
- (虛部)
- (模)
得到和,也就是,而是其共軛:。
歸結得,可以立時驗證出來。
其它根是和,其中。
當是負,和共軛,故此和也是(要適當選取立方根,記得);所以我們可確保是實數,還有和。
,其中係數皆為實數。
重根判別式:;
總判別式:。
情況1:
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。
情況2:
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讓,得:
;
;
。
情況3:
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讓,得:
;
。
情況4:
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讓,得:
;
;
。
設
將其微分,可得
設,可得。
由函數取極值的充分條件可知:
,是的極大值點;
,是的極小值點;
,是的反曲點。
可知:
,的駐點為極大值點;
,的駐點為極小值點;
,的駐點為反曲點。
- ^ 三上義夫 《中國算學之特色》 34頁 商務印書館。