三次函数
的图像。该函数与x轴相交3次说明方程
有3个实数根。
三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程,一元三次方程一般形式为
,
其中
是属于一个域的数字,通常这个域为ℝ或ℂ。
本条目只解释一元三次方程,而且简称之为三次方程式。
中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]
波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。
中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。
在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如
的方程。事实上,如果我们允许
是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。
尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程式解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。
当
时,方程有一个实根和两个共轭复根;
当
时,方程有三个实根:当
![{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8297cbb8eea18ca59cf41e368cec5206095b53)
时,方程有一个三重实根;
当
![{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1eaf69f8d9b086a855a49df1ae0148f36349831)
时,方程的三个实根中有两个相等;
当
时,方程有三个不等的实根。
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a711a965ea77b01d1f5e41dc276b3573a8fce4)
![{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\color {red}\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46587b0851620fbebda9700bb088c1a03bb6788b)
![{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9613fc132d7d8433ecc9fb0ea9f02107c76ce932)
![{\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb11b3a4399d17dcf4d7fb8961824c5c68ae9c7)
红色字体部分为判别式
。
当
时,方程有一个实根和两个共轭复根;
当
时,方程有三个实根:
当
时,方程有一个三重实根;
当
时,方程的三个实根中有两个相等;
当
时,方程有三个不等的实根。
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a711a965ea77b01d1f5e41dc276b3573a8fce4)
![{\displaystyle x=-{{b} \over {3a}}+{{{\sqrt[{3}]{2}}\left(b^{2}-3ac\right)} \over {3a\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}}}+{{\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}} \over {3{\sqrt[{3}]{2}}a}},k=0,1,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90434371f77ff38cdd3892f9f9a111c90b4311e5)
,其中
。
若令
,则
令
为域,可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根
,然后把方程
除以
,就得到一个二次方程,而我们已会解二次方程。
在一个代数封闭域,所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域,这是代数基本定理的结果。
解方程步骤:
- 把原来方程除以首项系数
,得到:
,其中
,
,
。
- 代换未知项
,以消去二次项。当展开
,会得到
这项,正好抵消掉出现于
的项
。故得:
,其中
和
是域中的数字。
;
。
- 设
满足
,则
为解
- 这个假设的hint如下:
- 记
。前一方程化为
。
- 展开:
。
- 重组:
。
- 分解:
。
- 设
和
。我们有
和
因为
。所以
和
是辅助方程
的根,可代一般二次方程公式得解。
接下来,
和
是
和
的立方根,适合
,
,最后得出
。
在域
里,若
和
是立方根,其它的立方根就是
和
,当然还有
和
,其中
,是1的一个复数立方根。
因为乘积
固定,所以可能的
是
,
和
。因此三次方程的其它根是
和
。
最先尝试解的三次方程是实系数(而且是整数)。因为实数域并非代数封闭,方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在
里,就是
的代数闭包。其中差异出现于
和
的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。
可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式
,
- 若
,方程有一个实根和两个共轭复根;
- 若
,方程有三个实根:当
时,方程有一个三重实根;当
时,方程的三个实根中有两个相等;
- 若
,方程有三个不等的实根:
其中
(注意,由于此公式应对于
的形式,因此这里的
实际上是前段的
,应用时务必注意取负号即
)。
注意到实系数三次方程有一实根存在,这是因为非常数多项式在
和
的极限是无穷大,对奇次多项式这两个极限异号,又因为多项式是连续函数,所以从介值定理可知它在某点的值为0。
解
。
我们依照上述步骤进行:
(全式除以
)
- 设
,代换:
,再展开
。
,
,
。设
和
。
和
是
的根。
和
,
和
。
,
![{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1.3221853546}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b183fc86450a2b96880a21acb23c317fb9c0637)
该方程的另外两个根:
,
,
这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。
方程是
。
从函数
算出判别式的值
,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。
前两步都不需要做,做第三步:
,
,
。
和
。
和
是
的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。
我们解出
和
。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部:
现设
。
等价于:
(实部)
(虚部)
(模)
得到
和
,也就是
,而
是其共轭:
。
归结得
,可以立时验证出来。
其它根是
和
,其中
。
当
是负,
和
共轭,故此
和
也是(要适当选取立方根,记得
);所以我们可确保
是实数,还有
和
。
,其中系数皆为实数。
重根判别式:
;
总判别式:
。
情况1:![{\displaystyle A=B=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f86f736b242670afc5462dc46af0d72b58e99f)
[编辑]
。
情况2:![{\displaystyle \Delta >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bba4bbddf69fb5d000a3d8a9daba0a36b5e720)
[编辑]
让
,得:
;
;
。
情况3:![{\displaystyle \Delta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf057da503668fa097746562ae91517330ce5b58)
[编辑]
让
,得:
;
。
情况4:![{\displaystyle \Delta <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc1b4ee97fd845583ecac5c0a2d151dfac284a3)
[编辑]
让
,得:
;
;
。
设
将其微分,可得
设
,可得
。
由函数取极值的充分条件可知:
,
是
的极大值点;
,
是
的极小值点;
,
是
的拐点。
可知:
,
的驻点为极大值点;
,
的驻点为极小值点;
,
的驻点为拐点。
- ^ 三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。