域 (數學)

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抽象代数中,Field)是一种可進行(除了除以零之外)運算的代數結構的概念是数域以及四则运算的推广。

域是的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代的定义中,域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为(Körper, corps),或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”。

定义[编辑]

定义 1[编辑]

域是交换性除环

定义 2[编辑]

域是一種交換環 (F, +, *),當中加法單位元(0)不等於乘法單位元(1),且所有非零元素有乘法逆元。

定义 3[编辑]

域明确的满足如下性质:

在加法和乘法上封閉 
對所有屬於F的a, ba+ba*b屬於F(另一種說法:加法和乘法是F上的二元運算)。
加法和乘法符合結合律 
對所有屬於F的a, b, c(a+b)+c=a+(b+c)(a*b)*c=a*(b*c)
加法和乘法符合交換律 
對所有屬於F的a, b,, a+b=b+aa*b=b*a
符合乘法對加法的分配律 
對所有屬於F的a, b, ca*(b+c)=(a*b)+(a*c)
存在加法單位 
在F中有元素0,使得所有屬於F的aa+0=a
存在乘法單位 
在F中有不同于0的元素1,使得所有屬於F的aa*1=a
存在加法逆元 
對所有屬於F的a,存在-a使得a+(-a)=0
存在乘法逆元 
對所有a \ne 0,存在元素a^{-\!1}使得a*a^{-1}=1

其中0 ≠ 1 的要求排除了没有什么意义的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论:

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)
a * 0 = 0
如果 a * b = 0 ,则要么 a = 0 ,要么 b = 0

例子[编辑]

  • 常见的数域都是域。比如说,全体复数的集合\mathbb{C} 对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合\mathbb{Q}也是一个域,它是\mathbb{C} 子域,并且不包含更小的子域了。
  • 代数数域: 代数数域是有理数域\mathbb{Q}有限扩域,也就是说代数数域是\mathbb{Q}上的有限维向量空间。代数数域都同构于\mathbb{C} 的子域,并且这个同构保持\mathbb{Q}不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
  • 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作\overline{\mathbb{Q}}\overline{\mathbb{Q}}是有理数域\mathbb{Q}的代数闭包(见下)。\overline{\mathbb{Q}}是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
  • 全体实数的集合\mathbb{R} 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域\mathbb{C} 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
  • 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是\mathbb{R} 的一个子域。
  • 任意一个有限域的元素个数是一个素数 q 的乘方,一般记作 Fq ,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数 q 的域都同构于 Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1} 。令 p = 2, 就得到最小的域:F2F2 只含有两个元素 0 和 1运算法则如下:
       0  1          0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1
  • EF 是两个域, EF 的子域,则 FE扩域。设 xF 中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含 ExF 的子域,记作 E(x)E(x)称作 EF 中关于 x单扩张。比如说,复数域\mathbb{C} 就是实数域\mathbb{R} \mathbb{C} 中关于 虚数单位 i 的单扩张。
  • 每一个有乘法么元的环 R 都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作 K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明, K(R) 是包含 R 的“最小”的域。
  • F 是一个域,定义 F(X) 是所有以 F 中元素为系数的分式的集合,则 F(X)F 的一个扩域。 F(X)F 上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
  • F 是一个域, p(X) 是多项式环 F[X] 上的一个不可约多项式,则商环 F[X]/<p(X)> 是一个域。其中的 <p(X)> 表示由 p(X) 生成的理想。举例来说, R[X]/<X2 + 1> 是一个域(同构于复数域 \mathbb{C} )。可以证明, F 的所有单扩张都同构于此类形式的域。
  • V 是域 F 上的一个代數簇,则所有 V → F 的有理函数构成一个域,称为 V函数域
  • 由于序数不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于2^{2^n}的所有自然数构成的子集)都是域。

基本性质[编辑]

  • F中的所有非零元素的集合(一般记作F×) 是一个关于乘法的阿贝尔群F×的每个有限子群都是循环群
  • 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1 (n 个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数 p,要么是0(表示这样的n不存在)。 此时 F 中最小的子域分别是 \mathbb{Q} 或有限域 \mathbb{F}_p,称之为 F素域
  • 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
  • 选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含FGF代数扩张,并且G代数封闭G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说GF的一个代数闭包。

參見[编辑]