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合成列

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抽象代數中。合成列是藉著將代數對象(如等等)拆解為簡單的成份,以萃取不變量的方式之一。以模為例,一般上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次,考慮一組過濾 ,使每個子商 皆為單模;這些單模稱為合成因子 稱為合成長度,都是 的不變量。亦可考慮 的子模範疇 ,此時 可唯一表為合成因子之和;在此意義下,K-群提供了模的半單化

合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言:若一對象有合成列,則子商的同構類是唯一確定的,至多差一個置換。因此,合成列給出有限群阿廷模的不變量。

群的情形[编辑]

為群, 的合成列是對應於一族子群

滿足 ,使其子商 皆為非平凡的單群;易言之, 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群,恆存在合成列。

模的情形[编辑]

固定環 -模 合成列是一族子模

其中每個子商 皆為非平凡的單模 。易言之, 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 阿廷環,根據 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成-模皆有合成列。

例子[编辑]

例子. 考慮 12 階循環群 ,它具有三個相異的合成列

,
,

合成因子分別為

其間僅差個置換。

若尔当-赫尔德定理[编辑]

定理. 若群 〔或 -模 〕有合成列,則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關,其間至多差一個置換

略證:以下僅處理模的情形,群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

數學歸納法。若 ,若 單模。以下假定

,據歸納法假設,)之間僅差置換。此外 ,故定理成立。

。此時必有 。置 ,於是

的合成列 ,依上式知

皆為合成列,其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設,若同刪去尾項 ,則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 的合成因子,至多差個置換。是故定理得證。

參見[编辑]

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