阿廷環

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阿廷環抽象代數中一類滿足降鏈條件,以其開創者埃米爾·阿廷命名。

定義[编辑]

一個環A稱作阿廷環,若且唯若對每個由A理想構成的降鏈\mathfrak{a}_1 \supset \mathfrak{a}_2 \supset \ldots, \supset\mathfrak{a}_n \supset\ldots,必存在N \subset \mathbb{N},使得對所有的n,m \geq N都有\mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_m(換言之,此降鏈將會固定)。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想,可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環,A是左(右)阿廷環若且唯若A在自己的左乘法下形成一個左(右)阿廷模;對於交換環則無須分別左右。

例子[编辑]

  • k為一個,若環A是佈於k上的有限維代數,則A是阿廷環。

基本性質[编辑]

若一個環A是交換阿廷環,則滿足下列性質:

代數幾何的觀點,阿廷環的在拓樸上只是有限多個點,但其結構層可能帶有冪零的元素,這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

文獻[编辑]

  • Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X