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分式環

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抽象代數中,分式環分式域是包含一個整環的最小,典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環,此時通常稱作全分式環

分式環有時也被稱為商域,但此用語易與商環混淆。

構造[编辑]

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 為一個整環,而

在集合 上定義下述等價關係

等價類 可以想成「分式」 ,上述等價關係無非是推廣有理數的通分;藉此類比,在商集 上定義加法與乘法為:

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ,定義為 ;這是一個單射。於是可定義分式環 ,再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上,我們常逕將 裡的元素寫作分式

泛性質[编辑]

整環 的分式環 及其自然環同態 滿足以下的泛性質

對任何環 及環同態 ,若 中的元素在 下的像皆可逆,則存在唯一的環同態 ,使得 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明:任何一組資料 若使得 中的元素在 下的像皆可逆,且滿足上述泛性質,則 必與 同構。

例子[编辑]

推廣[编辑]

對於一般的交換環 (容許有零因子 ),分式環是一種退而求其次的建構:我們想找使 為單射的「最大」局部化,詳述如下:

中的非零因子所成子集,它是個積性子集,因此可對之作局部化。令 ,此時 常被稱作 全分式環