置换群

数学上，一个置换群是一个群G，其元素是一个给定集M的置换，而其群作用是G中的置换（可以看作是从M到自身的双射）的复合；其关系经常写作(G,M)。注意所有置换的群是对称群；置换群通常是指对称群的一个子群。n个元素的置换群记为S_n；若M 是任意有限或无限集合，则所有M的置换组成的对称群通常写作Sym(M)。

置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用。

例子

置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合 M = {1,2,3,4}，M 的一个置换 g 若为 g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 和 g(3) = 3，可以写作 (1,2,4)(3)，或者更常见的写作 (1,2,4)，因为 3 保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作(1 2 4)。

常见的置换群

M = {1,2}

(1)、(1 2)

M = {1,2,3}

(1)、(1 2)、(1 3)、(2 3)、(1 2 3)、(1 3 2)

M = {1,2,3,4}

(1)、(1 2)、(1 3)、(1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4)、(1 2 3)、(1 3 2)、(1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3)、(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2)、(1 2)(3 4)、(1 3)(2 4)、(1 4)(2 3)

参看

• 群作用
• 本原群

参考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups".