置换群

数学上，一个置换群是一个群$G$，其元素是一个给定集$M$的置换，而其群作用是$G$中的置换（可以看作是从M到自身的双射）的复合；其关系经常写作$(G,M)$。注意所有置换的群是对称群；置换群通常是指对称群的一个子群。$n$个元素的置换群记为$S_{n}$；若$M$是任意有限或无限集合，则所有$M$的置换组成的对称群通常写作${\text{Sym}}(M)$。

置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用。

例子

置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合$M=\{1,2,3,4\}$，$M$的一个置换$g$若为$g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1$和$g(3)=3$，可以写作$(1,2,4)(3)$，或者更常见的写作$(1,2,4)$，因为$3$保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作$(1\ 2\ 4)$。

常见的置换群

$M=\{1,2\}$

$(1),(1\ 2)$

$M=\{1,2,3\}$

$(1),(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)$

$M=\{1,2,3,4\}$

$(1),$ $(1\ 2),(1\ 3),(1\ 4),(2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),$ $(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2),(1\ 2\ 4),(1\ 4\ 2),(1\ 3\ 4),(1\ 4\ 3),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3),$ $(1\ 2\ 3\ 4),(1\ 2\ 4\ 3),(1\ 3\ 2\ 4),(1\ 3\ 4\ 2),(1\ 4\ 2\ 3),(1\ 4\ 3\ 2),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)$

参看

• 群作用
• 本原群

参考

• John D. Dixon and Brian Mortimer. Permutation Groups. Number 163 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups".