群概形

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群论
Rubik's cube.svg

定義[编辑]

代數幾何中,一個概形上的群概形是範疇中的群對象。藉由米田信夫引理,我們可以給出兩種刻劃:

  • 以乘法、單位元與逆元定義:存在中的態射
    • 乘法:
    • 單位元:
    • 逆元:

並滿足結合律等等群的性質。

  • 以函子性定義:點函子透過遺忘函子分解。。

換言之:對於任意的-概形構成一個群;而且對任意-態射,誘導映射都是群同態。

  • 代數群:設為域,上的連通、光滑群概形稱作上的代數群。
  • 李代數:群概形自然地作用在它的全體向量場上。的全體左不變向量場稱作的李代數,記為;它是上的層。

例子[编辑]

  • 交換環譜的群概形結構一一對應到Hopf代數結構。
  • 阿貝爾簇:即一個域上的真(proper)代數群,它們必然是可交換的。
  • 線性代數群:即中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群,它們在表示理論數論中佔有根本地位。Chevalley定理斷言:若代數封閉,則對所有代數群都存在短正合列,其中是線性代數群而是阿貝爾簇。在此意義下,所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
  • ,並考慮的譜。這些群在拓樸上只有一個點,但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見,同時也是理解時的代數群之重要關鍵。

文獻[编辑]

  • A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
  • M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I(1970), PA Masson
  • D. Mumford, Abelian Varieties(1970), Oxford Univ. Press