本页使用了标题或全文手工转换

交错群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
群论
Rubik's cube.svg

数学中,交错群alternating group)是一个有限集合偶置换。集合{1,...,n}上的交错群称为n阶交错群,或n个字母上的交错群,记做An或Alt(n)。

例如,4阶交错群是A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}(参见轮换记法cycle notation)。

基本性质[编辑]

n > 1,群An对称群Sn交换子群指数为2,从而有n!/2个元素。它是符号群同态sgn : Sn → {1, −1}的

An阿贝尔当且仅当n ≤ 3,当且仅当n = 3或n ≥ 5。注意A3事实上是3阶单群。A1与A2是1阶群,一般不称为单的,而A4有一个平凡正规子群从而不单。A5是最小非阿贝尔单群,阶数为60,也是最小不可解群

共轭类[编辑]

对称群中,An的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成,这里长为1的轮换包含在轮换型中,则对这样的轮换型恰有两个共轭类(Scott 1987,§11.1, p299)。

例如:

  • 两个置换 (123)与 (132)有相同的轮换型从而在S3中共轭,但在A3中不共轭。
  • 置换 (123)(45678)与其逆 (132)(48765)有相同的轮换型所以在S8中共轭,但在A8中不共轭。

自同构群[编辑]

n > 3,除了n = 6,An的自同构群就是Sn的自同构群,其内自同构群An 外自同构群Z2;外自同构来自用一个奇置换共轭。

n = 1与2,自同构群平凡。对n = 3 自同构群是Z2,其内自同构群平凡外自同构群为Z2

A6的外自同构群是克莱因四元群V = Z2×Z2,这也是S6的自同构群A6另外的自同构将三轮换(比如 (123))与32型元素(比如 (123)(456))交换。

特殊同构[编辑]

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

更显然有A3同构于循环群Z3,以及A1与A2同构于平凡群(也是SL1(q)=PSL1(q)对任何q)。

子群[编辑]

A4是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群:给定一个有限群G和 |G| 的一个因子d,不一定存在G的一个d阶子群。群G = A4,阶为12,没有6阶子群。有三个元素的子群(由三个对象的轮换旋转生成)再加上任何一个其它元素生成整个群。

群同调[编辑]

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论stable homotopy theory)中的稳定性:对足够大的n是常值。

H1:阿贝尔化[编辑]

第一同调群阿贝尔化相同,因为除去已经提到的例外是完全群perfect group),从而有

for and

H2:舒尔乘子[编辑]

n等于5或大于等于8时,交错群An舒尔乘子Schur multiplier)是2阶循环群;在6和7时有一个三重覆盖,则舒尔乘子的阶数为6。

for

参考文献[编辑]