阿贝尔群

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群论
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阿貝爾群也稱爲交換群可交換群,它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序(交換律公理)的。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。

阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被透底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。

定義[编辑]

阿貝爾群是有着群運算符合交換律性質的,因此阿貝爾群也被稱爲交換群。它由自身的集合 G二元運算 * 構成。它除了滿足一般的群公理,即運算的結合律G單位元、所有 G 的元素都有逆元之外,還滿足交換律公理

a*b=b*a \,

因為阿貝爾群的群運算滿足交換律和結合律,群元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。

而群運算不滿足交換律的群被稱爲“非阿貝爾群”,或“非交換群”。

符號[编辑]

阿貝爾群有兩種主要運算符號 — 加法和乘法。

約定 運算 單位元 逆元
加法運算 x + y 0 nx x
乘法運算 x * yxy e 或 1 xn x −1

一般地說,乘法符號是的常用符號,而加法符號是的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時,加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

乘法表[编辑]

驗證有限群是阿貝爾群,可以構造類似乘法表的一種表格(矩陣),它稱爲凱萊表。如果群 G = {g1 = e, g2, ..., gn} 在運算 ⋅ 下,則這個表的第 (i, j) 個表項包含乘積 gigj。群是阿貝爾群當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的(就是說這個矩陣是對稱矩陣)。

這是成立的因為如果它是於阿貝爾群,則 gigj = gjgi。這蘊含了第 (i, j) 個表項等于第 (j, i) 個表項,就是說這個表示關于主對角線對稱的。

例子[编辑]

  • 整數集和加法運算 "+" 是阿貝爾群,指示為 (Z,+),運算 + 組合兩個整數形成第三個整數,加法是符合結合律的,零是加法單位元,所有整數 n 都有加法逆元n,加法運算是符合交換律的因為對于任何兩個整數 mnm + n = n + m
  • 所有循環群 G 是阿貝爾群,因為如果 x, yG 中,則 xy = aman = am + n = an + m = anam = yx。因此整數Z 形成了在加法下的阿貝爾群,整數模以 n Z/nZ 也是。
  • 所有都是關于它的加法運算的阿貝爾群。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群,非零實數集在乘法下是阿貝爾群。

矩陣即使是可逆矩陣,一般不形成在乘法下的阿貝爾群,因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是 2x2 旋轉矩陣的群。

歷史注記[编辑]

阿貝爾群是 Camille Jordan挪威數學家尼尔斯·阿贝尔命名的,他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯系的重要性。

性質[编辑]

如果 n自然數x 是使用加號的阿貝爾群 G 的一個元素,則 nx 可以定義為 x + x + ... + x (n 個數相加) 并且 (−n)x = −(nx)。以這種方式,G 變成在整數的 Z 上的。事實上,在 Z 上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群(比如在主理想整環 Z 上的)的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾群的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下,這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如 Z/pkZ 對于素數 p 的有限多個群的直和,而后者是有限多個 Z 的復本的直和。

如果 f, g : G  →  H 是在阿貝爾群之間的兩個群同態,則它們的和 f + g,定義為 (f + g)(x) = f(x) + g(x),也是阿貝爾同態。(如果 H 是非阿貝爾群則這就不成立。) 所有從 GH 的群同態的集合 Hom(G, H) 因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似於向量空間維度,所有阿貝爾群都有。它定義為群的線性無關元素的最大集合的。整數集和有理數集和所有的有理數集的子群都有秩 1。

有限阿貝爾群[编辑]

整數模以 n 的循環群 Z/nZ 是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和,并且這些階數是唯一確定的,形成了一個不變量(invariant)的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯Ludwig Stickelberger英语Ludwig Stickelberger 在 1879 年的論文,后來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模,形成了線性代數的一個重要組成部分。

分類[编辑]

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群 G 都可以表達為素數階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理G 有零時的特殊情況。

mn 階的循環群 \mathbb{Z}_{mn} 同構於 \mathbb{Z}_m\mathbb{Z}_n 的直和,當且僅當 mn互素的。可推出任何有限阿貝爾群 G 同構於如下形式的直和

\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}

以任何下列規范方式:

  • k1,...,ku 是素數的冪
  • k1 整除 k2,它又整除 k3,如此直到 ku

例如,\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{15} 可以被表達為 3 階和 5 階的兩個循環群的直和: \mathbb{Z}_{15}\cong\{0, 5, 10\}\oplus\{0, 3, 6, 9, 12\}。對于任何 15 階的阿貝爾群這也成立,導致了所有 15 階阿貝爾群都是同構的的顯著結論。

另一個例子,所有 8 階段阿貝爾群都同構於要么 \mathbb{Z}_8 (整數 0 到 7 在模 8 加法下), \mathbb{Z}_4\oplus\mathbb{Z}_2 (奇數 1 到 15 在模 16 乘法下),要么 \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2

小於等于 16 階的有限阿貝爾群可參見小群列表

自同構[编辑]

可以應用基本定理去計數(有時確定)給定有限阿貝爾群 G自同構。要這么做,可利用如果 G 分解為互素階的子群的直和 H \oplus K,則 Aut(H \oplus K) \cong Aut(H) \oplus Aut(K) 的事實(這里就不證明了)。

基本定理證明了要計算 G 的自同構群,分別計算西羅 p 子群的自同構群就足夠了(也就是所有的循環子群的直和,每個都有 p 的冪的階)。固定一個素數 p 并假設西羅 p 子群的循環因子的指數 ei 是按遞增次序安排的:

e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n

對於某個 n > 0。需要找到

\mathbb{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{p^{e_n}}

的自同構。一個特殊情況是在 n = 1 的時候,此時在西羅 p-子群 P 中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限循環群的自同構的理論。另一個特殊情況是在 n 為任意的但 ei = 1 對於 1 ≤ in 的時候。這里考慮 P 為有著形式

\mathbb{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_p

所以這個子群的元素可以被看作構成了在 p 元素的有限域 \mathbb{F}_p 上的 n 維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換,因此

\mathrm{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbb{F}_p),

它早先證明了有階

|\mathrm{Aut}(P)|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1}).

在最一般情況下,這里的 ein 是任意的,自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義

d_k=\mathrm{max}\{r|e_r = e_k^{\,}\}

并且

c_k=\mathrm{min}\{r|e_r=e_k^{\,}\}

則有著特別的 dkk, ckk,并且

|\mathrm{Aut}(P)| = \left(\prod_{k=1}^n{p^{d_k} - p^{k-1}}\right)\left(\prod_{j=1}^n{(p^{e_j})^{n-d_j}}\right)\left(\prod_{i=1}^n{(p^{e_i-1})^{n-c_i+1}}\right)

可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階(參見 [Hillar,Rhea])。

參見[编辑]

注釋[编辑]


引用[编辑]

  • Fuchs, László (1970) Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
  • ------ (1973) Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
  • Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7. 
  • Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1].
  • Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.