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群作用

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給定一個等邊三角形,通過把所有頂點映射到另一個頂點,繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。
  • 数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义[编辑]

为一个为一个集合,则上的一个(左) 群作用是一个二元函数

(其中的像写作),满足如下两条公理:

  1. 对于所有 成立
  2. 对于每个成立 (代表么元)

从这两条公理,可以得出对于每个,映射的函数是一个双射,从映射到。因此,也可以将上的群作用定义为从对称群群同态

若群作用给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合

完全一样地,可以定义一个GX上的右群作用为函数,满足以下公理:

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则

是一左作用,因为

所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。

群作用的种类[编辑]


軌道與穩定化子[编辑]

軌道[编辑]

的一個元素,且群上有著一個作用,那麼的軌道就是指以下列方式定義的的子集:

的兩個軌道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道有一個共通元素,那麼就可以找到兩個中的元素,使得,同時有,反之亦可推出,而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集,假若的一個子集,且定義中元素的慣常運算規則為上的一個作用,那麼的陪集()就是的軌道。

不變子集[编辑]

若S是X的一個子集,群G作用在X上( X 被稱作G-set),對於群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著

則我們會說 S在G的作用下是封閉的,或是說,S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群[编辑]

的一個元素,對於群中的所有元素而言,都有,那麼就稱-不變的(-invariant)。

另外若的一個元素,則所有使得中的元素構成的集合又稱對於的穩定子群(stabilizer subgroup of with respect to ),一般常常將之記作(注意:不要將之與上面軌道的符號混淆)。

的一個子群,因為根據定義,因此的單位元屬於,且假若,那麼的逆元也是的元素,因為

軌道-穩定點定理 與Burnside's 引理[编辑]

考慮一個映射 可以證明此映射是一個雙射的函數,而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是Burnside's 引理,

範例[编辑]

  • 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 gx = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换[1]


  1. ^ Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.